Частотный анализ моделей и систем
Частотный анализ модели или системы
Процесс идентификации частотной характеристики модели или системы сопровождаемый уточнением соответствующей частотной передаточной функции. Цель частотного анализа состоит в предоставлении исходных данных для решения задач оценки качества, коррекции, синтеза САР.
Процедуры частотного анализа, реализованные в программах математического моделирования динамических систем, могут быть основаны на базе:
вычислительных алгоритмов;
измерительных алгоритмов;
алгоритмов распознавания образов.
Вычислительные алгоритмы идентификации частотных характеристик моделей
Рабочие файлы: [fr_ABCD.mcd] [fr_ABCD_sz.mcd]
Главная особенность вычислительных алгоритмов идентификации ЧХ состоит в том, что они ни коим образом не анализируют входной и выходной сигналы, а поэтому могут применяться только к математическим моделям. Исходной информацией для расчета ЧХ являются коэффициенты модели, поэтому предварительная процедура её идентификации является обязательной.
Если программе известны коэффициенты числителя и знаменателя ПФ модели, то алгоритмизация процедуры расчета ЧХ не вызывает затруднений. Гораздо чаще программы математического моделирования располагают результатом идентификации в матричной ABCD-форме. Выведем формулу расчета ЧХ для данного случая:
ЧХ дискретной системы так же можно рассчитать с помощью представленной формулы, но нужно выполнить постановку: jω←еjωT. В случае если требуется построить частотную характеристику для домена псевдочастоты λ (что может потребоваться при использовании устаревших методик), требуемая подстановка имеет вид: jω←(2+jλT)/(2−jλT).
Если же система является мультичастотной дискретной, гибридной, или же непрерывной, но со звеньями чистого запаздывания, то требуется корректное заполнение диагональной матрицы соответствующими частотными операторами. На сегодняшний день достоверность результатов в этом случае требует подтверждения методами основанными, на анализе входных и выходных сигналов.
Во избежание необоснованных обвинений моделирующих программ, каждый специалист должен знать, что рассчитанная на основе известных коэффициентов ЧХ ни как не учитывает тех погрешностей, которые не может не вносить ЦВМ, согласно своей природе, в процесс симуляции моделей (см. рис.). Например, для перехода в частотную область используется подстановка идеального частотного оператора s←jω (без вещественной составляющей), который не учитывает погрешностей дискретных квазианалогов интеграторов моделирующих программ (что, впрочем, методически верно).
На рисунке показаны переходные процессы системы, вызванные ненулевыми начальными условиями. Частотная характеристика разомкнутой системы очевидна (-40 дБ/дек. & -180°), и вычислительные алгоритмы частотного анализа ее подтверждают. Но симуляция движения координат модели выявляет несоответствия между временным и частотным доменами при переключении методов интегрирования (методу Эйлера с запаздыванием соответствует расходящийся переходный процесс; методу Эйлера с упреждением – сходящийся; методу трапеций – синусоида с постоянной амплитудой)
Измерительные алгоритмы идентификации частотных характеристик моделей и систем
Процедуры идентификации ЧХ, основанные исключительно на спектральном или гармоническом анализе результатов измерений входного и выходного сигналов, имеют особую ценность в программах математического моделирования. Они обеспечивают наиболее эффективные и адекватные переходы от абстрактных математических моделей к проектируемым физическим прототипам и обратно, а так же являются одним из не многих инструментов оценки адекватности функционирования самих моделирующих программ в режиме симуляции.
Универсальных алгоритмов измерений ЧХ нет. Существуют три вида ограничений, которые порождают семейства методов измерений ЧХ, которые в той или иной степени могут быть оптимальными для исследования трех классов идентифицируемых линейных объектов (см. рис.). К упомянутым ограничениям относятся:
Невозможность использования дельта-воздействий для объектов с эффектами насыщения.
Затруднения в расширении диапазона частот свыше "трехдекадного барьера".
Большие временные затраты на расширение динамического диапазона ниже уровня шума.
Если на вход системы подать весь спектр частот с единичными амплитудами, то определение частотной ПФ на основе измерительной информации упрощается:
W(jω)=Y(jω)/X(jω)|X(jω)=1=Y(jω).
Подобный единичный спектр имеет дельта-функция Дирака δ(t). Реакция же систем на дельта-функцию называется функцией веса w(t), поэтому частотную ПФ можно получить вычислением её Фурье-изображения:
W(jω)=FT{w(t)},
или же, для дискретных сигналов:
W[jkω]=DFT{w[n]}=n=0N−1∑w[n]е−jkωnT.
где: ω – частота первой гармоники в спектре сигнала длинной в NT выборок; k – порядковый номер гармоники (независимая переменная); N – число выборок функции веса w[n] (обычно кратно степени двойки); k≤(N/2).
Подобный подход используется в простейших алгоритмах идентификации ЧХ и достаточно легко реализуется в любых математических программах:
Измерения частотных характеристик выполнены для двух дискретных фильтров с конечной импульсной характеристикой (FIR). Операция быстрого преобразования Фурье (нижний график) выполнена библиотечным блоком осциллограф программы VisSim (в свойствах блока осциллограф активирован режим вычисления БПФ для осциллограммы)
Измерения частотных характеристик выполнены для модели колебательного звена и инверсного фильтра Чебышева десятого порядка, т.е. для двух непрерывных систем с бесконечной импульсной характеристикой (IIR)
Сравнивая приведенные на рисунках ЧХ КИХ и БИХ-фильтров, легко понять суть "трехдекадного барьера" (присущего алгоритмам на базе БПФ), который проявляется при частотном анализе БИХ-фильтров, чьи ЧХ представляются в логарифмическом масштабе по оси частот. Очевидно, что, в этом случае, кратная двойке сетка анализируемых гармоник в выходном массиве процедуры БПФ ограничивает разрешение по частоте в НЧ диапазоне. Увеличение частотного диапазона на декаду требует увеличения времени симуляции в десять раз.
При измерении ЧХ реальных систем использование дельта-функции невозможно. Её замещают либо суперпозицией синусоид, либо белым шумом, либо другим сигналом конечной амплитуды. Основным методом расширения динамического диапазона ниже уровня шума является усреднение результатов повторных измерений. В случае использования алгоритмов измерения ЧХ на базе ДПФ для ослабления эффекта наложения частот используют методику взвешивания массива измерительной информации окнами Бартлета, Хэмминга, с хэннингом, Блэкмана, Хариса и т.д.
Алгоритмы идентификации частотных характеристик систем на основе технологий распознавания образов
Идея алгоритмов идентификации ЧХ систем на основе технологий распознавания образов заключена в уточнении априорных предположений о порядке системы и порядке её астатизма. Согласно сценарию, алгоритм создает образ идентифицируемой системы (модель), и, в итерационном процессе, так подгоняет положение асимптот его частотной характеристики, дабы реакции идентифицируемой системы и образа на произвольные сигналы совпадали.
Простейшие алгоритмы данной группы обеспечивают погрешности идентификации не превышающие трети декады и 6 дБ, что вполне приемлемо при проектировании систем управления. В целях снижения погрешностей для идентификации выбирают фрагменты осциллограмм сигналов с наиболее широким спектром (переходные режимы функционирования).
Безусловно, группа измерительных алгоритмов в любых случаях более предпочтительна. Но в условиях, когда возможность вывода системы из производственного процесса для исследований отсутствует, или же невозможно подать на систему требуемые измерительные воздействия выбора нет – нужно использовать те сигналы, которые есть.