Символьный анализ математического описания моделей

Символьные преобразования математического описания моделей

Те или иные алгоритмические процедуры, в результате исполнения которых моделирующая программа трансформирует математическое описание модели к желаемому виду (вплоть до изменения её структуры). В список основных символьных преобразований (чье наличие обязательно для библиотек анализа моделирующих программам) входят: билинейное преобразование, поиск корней алгебраических полиномов и разложение в степенной ряд (получение коэффициентов ошибок).

Билинейное преобразование

Рабочие файлы: [Аппроксиматоры]

Билинейное преобразование

Бинаправленная процедура пересчета коэффициентов линейной модели, используемая с целью нахождения соответствующего (дискретного или непрерывного) аналога, т.е. для трансформации моделей из s-домена в z-домен и обратно.

В действительности, при выполнении процедуры билинейного преобразования моделирующие программы никакого "символьного анализа" не выполняют (название отражает лишь суть результата). Для пересчета коэффициентов модели используются чуть модифицированная, а, по сути, та же процедура идентификации коэффициентов, которая была описана выше.

Если требуется перейти от непрерывного прототипа к дискретной модели, то процедура идентификации (в данном случае "перерассчитываемых") коэффициентов будет отличаться лишь тем, что библиотека анализа подключится не к выводам интеграторов модели, а к регистрам задержки, на которых эти (квазианалоговые) интеграторы реализованы. Следует уточнить, что в этой процедуре имеет смысл использовать лишь квазианалоговый интегратор первого порядка (на одном регистре), реализующий метод трапеций, поэтому библиотеки автоматически активируют этот метод интегрирования в настройках программ.

Если же требуется обратная трансформация модели, то процедура идентификации "перерассчитываемых" коэффициентов так же чуть модифицируется. Библиотека анализа замещает все регистры задержки модели их непрерывными аналогами – фазосдвигающими звеньями и подключается к интеграторам, на которых эти аппроксиматоры реализованы.

Приведенное выше и проиллюстрированное рисунком смысловое описание процедуры трансформации моделей имеет следующее математическое обоснование. Известно разложение в ряд Тейлора экспоненциальной функции (передаточной функции регистра задержки), которое связывает дискретный домен с непрерывным. Одно из возможных усечений этого ряда до двух членов известно как "билинейное преобразование":

 или   .

Если каждую из формул чуть преобразовать и вспомнить известную формулу, связывающую передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы, то легко можно составить структурные схемы, используемые библиотекой в процедуре трансформации моделей (см. рис.), а так же увидеть в них передаточные функции: регистра задержки, фазосдвигающего звена; интегратора, и квазианалогового интегратора реализующего метод трапеций:

 .

Разложение математического описания модели САР в степенной ряд

Рабочие файлы: [ABCD → с1с2с3]

Разложение математического описания модели в степенной ряд

Процедура разложения в степенной ряд системы дифференциальных уравнений САР решенной относительно требуемой координаты. Таким образом результат процедуры – первые коэффициенты разложения (коэффициенты ошибок, или коэффициенты отклика) – получается в результате трансформации либо ABCD-матрицы коэффициентов, либо коэффициентов числителя и знаменателя ПФ.

Известно, что например коэффициенты ошибок связывают коэффициенты разложения входного сигнала g(t) в ряд Тейлора с соответствующими составляющими ошибки x(t) в установившемся режиме движения:

x(t)=c₀g(t)+c₁g′(t)/1!+c₂g′′(t)/2!+c₃g′′′(t)/3!+…

Этот факт положен в основу техники разложения математического описания модели в степенной ряд. Идея заключена в том, что библиотека анализа моделирующей программы, за один процедурный шаг, балансирует модель в одном из возможных состояний установившихся режимов движения (неподвижное ненулевое состояние, движение с постоянной скоростью, и т.д.). Далее, измерив значения двух координат (относительно которых требуется выполнить разложение), вычисляет их отношение, находя тем самым соответствующий коэффициент искомого ряда.

В общем виде математическое обоснование техники разложения математического описания модели САР в степенной ряд объемно и опирается на аппарат матричных исчислений (лишь матричное описание позволяет учесть любые возможные взаимосвязи между координатами модели). Поэтому опишем лишь алгоритм, согласно которому функционируют соответствующая процедура библиотеки анализа моделирующих программ:

1. Пользователь указывает две координаты линейной непрерывной модели: вход и выход, – относительно которых требуется выполнить разложение и активирует соответствующую процедуру анализа.

2. Библиотека анализа замещает все интеграторы модели специальной блок-схемой, изображенной на рисунке справа. К указанному пользователем входу библиотека подключает генератор импульса единичной амплитуды, и подготавливается к измерениям выходной координаты (начиная с этого шага алгоритма допустимо, чтобы программы не использовали графический интерфейс, т.е. скрывали технические подробности от пользователя).

3. Далее, библиотека анализа инициирует процесс спец-симуляции модели. На каждом шаге выполняется измерение одного коэффициента разложения (в силу особенностей задающего сигнала значение выходной координаты равно коэффициенту разложения).

Достоинство описанного алгоритма заключается в том, что после упомянутой подстановки, величина шага симуляции моделирующей программы не имеет влияния на результат разложения. Однако процедура балансировки модели требует решения системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен порядку исследуемой САР.

Если исходной информацией к разложению будут являться не ABCD-матрицы коэффициентов, а коэффициенты числителя и знаменателя ПФ разомкнутой САР, то балансировка модели в установившихся режимах движения может быть упрощена, поскольку итерационному решателю моделирующей программы достаточно прорешивать алгебраическое уравнение лишь первого порядка. Требуемые в этом случае трансформации исходной модели и результат разложения показаны на рисунке.