Билет 1 Многоугольник. Диагональ многоугольника. Выпуклый многоугольника. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

Опр. Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков,

смежные из которых не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют

общих точек.

Две вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две его

любые несоседние вершины.

Многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от

каждой прямой , проходящей через две его соседние вершины.

Теорема. Сумма углов выпуклого n- угольника равна

Доказательство:

1) Проведем все диагонали из вершины А1.

2) Сумма углов многоугольника складывается из суммы углов всех треугольников, входящих в него,. Сумма углов одного треугольника равна 180 градусов,значит сумма углов многоугольника равна (n-2)180 градусов.

Билет 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма( доказательство одного на выбор)

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Параллелограмм имеет два свойства.

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Дано: ABCD- пар-м

Д-ть: 1) AB=CD, ВС=АD

2)<A=<C, <B=<D

Доказательство:

1. Проводим диагональ AC

2. Рассм. ABC и BDC

<1=<3( накрест.леж; по 1 св. пар. пр.)

<2=<4(аналогично),

BC- общая,

зн. ABC = BDC( по 2 приз. рав. тр.)

3. Из рав. тр. следует, что BC=AD, AB=CD ,<B=<D, <A=<1+<2,<С=<4+<3,

зн. <A=<С

Следствие .

С умма углов параллелограмма , прилежащих к одной стороне, равна

Свойство 2 . Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Билет 3 Признаки параллелограмма ( доказательство одного на выбор)

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Существуют три признака параллелограмма

Признак 1 Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Дано: ABCD- четырехугольник, AB= CD,

AB ll CD

Д-ть: ABCD- пар-м

Док-во:

1)Проведем диагональ AC

2) ABC = ADC по 1 признаку равенства треугольников

(т.к. AB=CD- по усл., AC – общая , <1=<2( накрестлежащие))

3)Из рав. тр. следует, что <3=<4, зн. BC ll AD (по 1 признаку

параллельных прямых)

4) Итак, имеем: AB ll CD и BC ll AB, зн. ABCD- пар-м(по определению)

Признак 2 Если в четырехугольнике противополож. стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Признак 3 Если в четырехугольнике диагонали пересекаются, и точка пересечения делит их пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Билет 4. Трапеция. Виды трапеций. Свойства равнобедренной трапеции

( доказательство одного на выбор)

Трапецией называется такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Виды трапеций

Обычная Прямоугольная

Равнобедренная

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если два ее угла прямые.

См.продолжение

Свойства равнобедренной трапеции.

Свойство 1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Дано:

ABCD- равнобедренная трапеция.

Д-ть: <А= <D; <B= <C.

Д-во:

1. Проведем высоты BH и

2. ABH= (по катету и гиппотенузе), т. к. AB=CD( трапеция равнобедренная), BH=CH(т.к. - пар-м).

3. Из равенства тр. Следует, что <A=<D

4. <A+<B =180

<C+ <D=180

<B =180 -<A,

<C=180 -<D,

зн. <B =<C

Свойство 2.В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Дано: ABCD- равнобедренная трапеция.

Д-ть: AC=BD

Д-во:

1) Рассмотрим BDA и ACD

AD – общая,

<A=<D ( по 1 св. равнобед. трап.),

BA=CD ( т.к трапеция ранобедренная),

зн. BDA=ACD ( по 1 приз. равенства тр)

2).Из рав. тр. следует, что AC=BD

Билет 5.Прямоугольник.Свойство диагоналей прямоугольника. Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма, но у него есть особое свойство. Докажем его.

Теорема. Диагонали прямоугольника равны. Дано: АВСД-прямоугольник Доказать: ВД=АС Доказательство: 1)Рассмотрим: АВД и АСД- прямоугольные АВ=СД(по 1 свойству параллелограмма) АД -общая Значит АВД= АСД (по 2-м катетам) 2)Из равенства треугольников следует, что АС=ВД

Билет 6. Ромб. Квадрат. Их свойства. Доказательство основного свойства ромба.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

ТЕОРЕМА. Особое свойство ромба.

B

• Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Дано: ABCD-ромб

Доказать: а) BD AC

б) <1=<2 <3=< 4

D

4

3

2

1

A

О

C

А

Доказательство:

1. ABC - равнобедренный, т.к.АВСД- ромб

AO=OC (по 2 свойству параллелограмма), значит

BO- медиана равнобедренного треугольника, а значит, высота и биссектриса.

2. Т.к. ВО - высота, то

<АОВ = , значит

<ВОС= , значит

АС BD

3. Т.к. ВО- биссектриса, то

<1=<2

4. Аналогично

ABD- равнобедренный, отсюда

<3=< 4

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые

Или

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1) Диагонали квадрата равны

2) Диагонали квадрата перпендикулярны

3) Диагонали квадрата являются биссектрисами

его углов

Билет 7. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма (доказательство теоремы о площади параллелограмма)

Площадь прямоугольника.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.

Площадь параллелограмма.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Д ано: АВСД – параллелограмм , а- основание, h- высота, провед1нная к основанию

Доказать:

Доказательство:1)проведём CK АД

BCHK-прямоугольник

2)Докажем, что S ABCD=S HBCK

3 )S ABCD=S ABH+S BCDH

S HBCK=S DKC+S BCDH

ABH= DCK (по гип. и острому углу, т.к AB=CD (по 1 свойству пар-ма),

1= 2 (как соответственные)

4) Значит S ABH=S DCK, значит S ABCD=S HBCK

S HBCK=BC*h=a*h, значит S ABCD=a*h

Билет 8. Площадь треугольника.( с доказательством)

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказать: (а – основание АС, h- высота ВH, проведённая к основанию)

Док-во:

1. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСД .

2. (по 3 сторонам), значит

Билет 9. Площадь ромба. Площадь трапеции (доказательство одной теоремы на выбор)

Т еорема Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

Дано: АВСД- ромб, АС и ВД- его диагонали

Доказать:

Доказательство:

Площадь ромба равна сумме площадей двух треуголь-

ников:

Площадь треугольника равна половине произведения основания

на высоту , т.е

Т еорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Билет 10. Теорема Пифагора.( с доказательством)

Теорема Пифагора Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов .

Дано: Прямоугольный треугольник Доказать:

Доказательство: 1)Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b

2) S большого квадрата квадрату его стороны, т.е

С другой стороны : S большого квадрата равна площади маленького квадрата плюс четыре площади треугольников (треугольники равны по двум катетам)

Докажем, что маленький четырёхугольник- квадрат:

И з равенства треугольников следует, что <1=<3, <2=<4 , значит,

= , значит это квадрат

И так, S большого квадрата равна площади маленького квадрата плюс четыре площади треугольников , т.е

3) Приравняем площади:

После упрощений получаем:

С ледствия :

Пифагоровы тройки :

5,4,3

13,12,5

17,5,8

10,8,6

Билет 11. Определение подобных треугольников. Отношение площадей и периметров

подобных треугольников (доказательство одного на выбор одной из теорем)

О пределение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны , а сходственные стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Т .е 1)

2)

Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия.

Я буду доказывать теорему 1