Задача 6.

Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Вообще говоря, достаточно сказать, что малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2. Поэтому площади поверхностей будут находится в отношении 1:4.

Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть 

Можно и так:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

 Пусть  – радиус основания и образующая исходного конуса.

Тогда 

Проведем образующую . Образовавшиеся прямоугольные треугольники  и  – подобны. Коэффициент подобия  – 2. То есть  

Наконец,  площадь поверхности отсеченного конуса есть

 

Ответ: 37.  

Задача 7.

Найдите объем  конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите .

, где  (так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы ())  и .

Поэтому Откуда 

Ответ: 166,375.  

Задача 8.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?

 – объем конуса.

Если высоту уменьшаем в 6 раз, то и объем уменьшается в 6 раз.

Ответ: 6.  

Задача 9.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?

 – объем конуса.

Если увеличить радиус в 4,5 раза, то  объем увеличивается в  раз.

Ответ: 20,25.  

Задача 10.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.

Объем цилиндра равен , а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой равен .

Если объем цилиндра равен 45, то объем конуса равен 15.

Ответ: 15.  

Задача 11.

Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение:  - спрятать

Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти  радиус основания  и  высоту конуса  (так как ).

Треугольник , образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.

Середина  гипотенузы  является центром описанной окружности около треугольника . А значит . Поэтому, так как диаметр основания равен 66, то 

Наконец, 

Откуда 

Ответ: 11979.  

Задача 12.

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .

Решение:  - спрятать

Объем конуса есть  (где  – радиус основания конуса, высота конуса).

Высота известна,  найдем радиус основания конуса:

В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке 

Из  прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника  :

 где 

Откуда 

Тогда 

Наконец, 

Ответ: 7,5.  

Задача 13.

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Задача 14.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Часть конуса, изображенная на рисунке – это  часть конуса с радиусом основания 9 и высотой 13.

Поэтому 

Откуда 

Ответ: 87,75.  

Задача 15.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Часть конуса, изображенная на рисунке – это  часть конуса с радиусом основания 18 и высотой 39.

Поэтому 

Откуда 

Ответ: 3510.  

Задача 16.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Объем шара есть  По условию объем шара равен 156, поэтому откуда 

Объем же конуса с  радиусом основания  и высотой  есть 

Ответ: 39.  

Задача 17.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

I способ. Объем жидкости равен объему занимаемой части конуса.

Поэтому  (высота уровня жидкости –  если высота конуса равна ; – радиус основания конуса, чей объем занимает жидкость, т.к. треугольники  и подобны и коэффициент подобия  – 2 (см. рис.)).

Отсюда 

Объем же конуса есть  

Значит долить нужно  миллилитров.

II способ. Можно рассуждать и так:

Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2.

Значит, объем исходного конуса есть  объемов отсеченного конуса (объемы подобных тел находятся в отношении , где  – коэффициент подобия). Стало быть, на усеченный конус приходится  объемов отсеченного (малого) конуса.

То есть объем усеченного конуса  (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть 

Ответ: 378.