Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a
имеют бесконечно много корней.
Решения уравнений по общим формулам:
1) cos x = a, где
,
находят по формуле
;
2) sin x = a, где
,
находят по формуле
;
3) tg x
= a находят по
формуле
;
4) ctg x
= a находят
по формуле
.
В некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:
5) sin x
= 0,
6)
sin x
= 1,
7)
sin x
= -1,
8)
cos x
= 0,
9)
cos x
= 1,
10)
cos x
= -1,
11) tg x = 0, 12) ctg x =0 , |
Таблица некоторых значений тригонометрических функций дана в разделе «Задания 7: вычисление элементов прямоугольного треугольника» (стр. 74).
Пример 34.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (1) , получим:
Так как
Очевидно,
что при п = 0 получим наименьший
положительный и наибольший отрицательный
корни:
В бланк ответов:
|
.
В ответе запишите наибольший
отрицательный корень. Ответ округлите
до сотых.
.
,
то получаем
;
.
,
,
Отсюда наибольший отрицательный
корень
-1,05.
Пример 35.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (3) , получим:
,
то получаем
,
Очевидно, что при п = -1 получим наибольший отрицательный корень, т.е. х -2,0933… -2,1. В бланк ответов: |
.
В ответе запишите наибольший
отрицательный корень. Ответ округлите
до десятых.
.
Пример 36.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (2) , получим:
Так как
Очевидно, что при п = 0 получим наименьший положительный корень, т.е. х 0,785 0,8. В бланк ответов:
|
.
В ответе запишите наименьший
положительный корень. Ответ округлите
до десятых.
.
,
то получаем
,
.
Пример 37.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (4) , получим:
Так как
Очевидно, что при п = 1 получим наименьший положительный корень, т.е. х 2,0933… 2,09. В бланк ответов:
|
.
В ответе запишите наименьший
положительный корень. Ответ округлите
до сотых.
.
,
то получаем
,
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (1) , получим:
Так как
Очевидно, что при п = 0 получим наименьший положительный и наибольший отрицательный корни: х - 0,9158...; 1,7008… - 0,92; 1,70. Отсюда наименьший положительный корень 1,70.
|
.
В ответе запишите наименьший
положительный корень. Ответ округлите
до сотых.
.
,
то получаем
;
;
;
;
.
Пример 38.
Пример 39.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Воспользовавшись
формулой (1) , получим:
Так как
,
то получаем
При п = 1 х = 0; 0,5; при п = 0 х = -1,5; -1. Значит, наибольший отрицательный корень -1. В бланк ответов:
|
.
В ответе запишите наибольший
отрицательный корень.
.
;
.
Умножая обе части уравнения на
,
получим:
;
;
.
Пример 40.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Преобразуем
исходное уравнение:
;
Воспользовавшись
формулой (2) , получим:
Так как
,
то получаем
Очевидно,
что при п = 1 получим наименьший
положительный корень:
В бланк ответов:
|
.
В ответе запишите наименьший
положительный корень. Ответ округлите
до десятых.
;
;
.
;
.
;
;
умножим обе части равенства на
2:
;
.
.Пример 41.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Воспользовавшись формулой (2) ,
получим:
Так как
При п =
-2
при п =
-1
при п = 0
|
.
В ответе запишите наименьший
положительный корень.
Решение:
.
,
то получим
;
.
Умножая обе части уравнения на
,
получим:
;
;
.
;
;
. Значит, наименьший положительный
корень 1,5. В
бланк ответов: