Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Задания 6.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
394.54 Кб
Скачать

Уравнения п-й степени

Уравнение, содержащее переменную в основании степени, называется уравнением п-й степени.

Рассмотрим решение простейшего уравнения п-й степени методом уравнивания показателей:

1) преобразовать заданное уравнение к виду , где ;

2) решить равносильное уравнение f(x) = с.

Пример 23.

Задание 6. Найдите корень уравнения (х+4) = 243.

-

1

Решение:

(х+4) = 243; (х+4) = 3 ; х+4 = 3; х = -1.

В бланк ответов:

Пример 24.

Задание 6. Найдите корень уравнения (х - 6) = 1000.

1

6

Решение:

(х - 6) = 1000; (х - 6) = 10 ; х - 6= 10; х = 16.

В бланк ответов:

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Чтобы решить простейшие логарифмические уравнения вида , нужно: 1) решить уравнение ;

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам и остальные корни уравнения являются посторонними для уравнения .

Определение логарифма и простейшие свойства логарифмов и степеней в разделе «Задания 10: вычисления значений выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции» (стр.104).

Пример 25.

Задание 6. Найдите корень уравнения

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению х + 6 = 4х – 9, откуда х - 4х = – 9 – 6,

- 3х = – 15, х = 5. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенств и . Число 5 этим неравенствам удовлетворяет. Значит, 5 –корень данного уравнения.

В бланк ответов:

5


Пример 26.

Задание 6. Найдите корень уравнения

Решение:

Используя свойства и , получим

, .

Перейдем от полученного уравнения к уравнению 5 + х = 4(4 - х), откуда 5+ х =

= 16 – 4х, 5х = 11, х = 2,2.

Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенств 5+ и . Число 2,2 этим неравенствам удовлетворяет. Значит, 2,2 –корень данного уравнения.

В бланк ответов:

2

,

2


Пример 27.

Задание 6. Найдите корень уравнения .

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению 8 - х = 5, откуда х = 3. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенства . Число 3 этому неравенству удовлетворяет. Значит, 3 –корень данного уравнения.

3

В бланк ответов:

Пример 28.

Задание 6. Найдите корень уравнения

Решение:

Используя свойство логарифмов , получим Перейдем от полученного уравнения к уравнению 8 - 5х = 32, откуда - 5х = 9 – 8, -5х = 1, х = -0,2. Проверку найденного значения х выполним с помощью неравенства . Число -0,2 этому неравенству удовлетворяет. Значит, -0,2 –корень данного уравнения.

-

0

,

2

В бланк ответов:

Простейшее логарифмическое уравнение имеет одно решение. Из определения логарифма сразу следует, что является таким решением.

Пример 29.

Задание 6. Найдите корень уравнения log (х-5) = 2.

Решение:

Используя определение логарифма , получим

В бланк ответов:

4

1


Пример 30.

Задание 6. Найдите корень уравнения log = 2.

Решение:

Используя определение логарифма , получим

В бланк ответов:

1

9


Пример 31.

Задание 6. Найдите корень уравнения log (8-х) = 2.

Решение:

Используя определение логарифма , получим

В бланк ответов:

-

4

1


Пример 32.

Задание 6. Найдите корень уравнения log (6-х) = -2.

Решение:

Используя определение логарифма , получим

В бланк ответов:

-

3

0


При использовании основного логарифмического тождества упрощается решение многих логарифмических уравнений.

Пример 33.

Задание 6. Найдите корень уравнения .

Решение:

Используя основное логарифмическое тождество для правой части уравнения, получим: отсюда

Проще: зная определение логарифма , сразу получим

Применяя формулу , имеем:

отсюда

Или:

Сначала используем формулы и для левой части уравнения:

Затем применяем основное логарифмическое тождество :

В бланк ответов:

6