Уравнения п-й степени
Уравнение, содержащее переменную в основании степени, называется уравнением п-й степени.
Рассмотрим решение простейшего
уравнения п-й степени
методом уравнивания показателей:
1) преобразовать заданное уравнение к
виду
,
где
;
2) решить равносильное уравнение f(x) = с.
Пример 23.
Задание 6. Найдите корень уравнения
(х+4)
(х+4) = 243; (х+4) = 3 ; х+4 = 3; х = -1. В бланк ответов: |
= 243.Пример 24.
Задание 6. Найдите корень уравнения
(х - 6)
(х - 6) = 1000; (х - 6) = 10 ; х - 6= 10; х = 16. В бланк ответов: |
=
1000.Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Чтобы решить простейшие логарифмические
уравнения вида
,
нужно: 1) решить уравнение
;
2) из найденных корней отобрать
те, которые удовлетворяют неравенствам
и
остальные корни уравнения
являются посторонними для уравнения
.
Определение логарифма и простейшие свойства логарифмов и степеней в разделе «Задания 10: вычисления значений выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции» (стр.104).
Пример 25.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Перейдем от заданного уравнения к уравнению х + 6 = 4х – 9, откуда х - 4х = – 9 – 6, - 3х
= – 15, х = 5. Проверку найденного
значения х выполним с помощью неравенств
В бланк ответов:
|
и
.
Число 5 этим неравенствам удовлетворяет.
Значит, 5 –корень данного уравнения.Пример 26.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение:
Используя свойства
Перейдем от полученного уравнения к уравнению 5 + х = 4(4 - х), откуда 5+ х = = 16 – 4х, 5х = 11, х = 2,2.
Проверку найденного значения
х выполним с помощью неравенств 5+
В бланк ответов:
|
и
,
получим
,
.
и
.
Число 2,2 этим неравенствам удовлетворяет.
Значит, 2,2 –корень данного уравнения.Пример 27.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение:
Перейдем от заданного уравнения
к уравнению 8 - х = 5, откуда х = 3.
Проверку найденного значения
х выполним с помощью неравенства
|
.
.
Число 3 этому неравенству удовлетворяет.
Значит, 3 –корень данного уравнения.Пример 28.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение:
Используя свойство логарифмов
|
,
получим
Перейдем от полученного уравнения
к уравнению 8 - 5х = 32, откуда -
5х = 9 – 8, -5х = 1, х = -0,2. Проверку
найденного значения х выполним с
помощью неравенства
.
Число -0,2 этому неравенству удовлетворяет.
Значит, -0,2 –корень данного уравнения.
Простейшее логарифмическое
уравнение
имеет одно решение. Из определения
логарифма
сразу следует, что
является таким решением.
Пример 29.
Задание 6. Найдите корень уравнения
log Решение: Используя определение логарифма , получим
В бланк ответов:
|
(х-5)
= 2.
Пример 30.
Задание 6. Найдите корень уравнения
log Решение: Используя определение логарифма , получим
В бланк ответов:
|
=
2.
Пример 31.
Задание 6. Найдите корень уравнения
log Решение: Используя определение логарифма , получим
В бланк ответов:
|
(8-х)
= 2.
Пример 32.
Задание 6. Найдите корень уравнения
log Решение: Используя определение логарифма , получим
В бланк ответов:
|
(6-х)
= -2.
При использовании основного
логарифмического тождества
упрощается решение многих
логарифмических уравнений.
Пример 33.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Используя
основное логарифмическое тождество
для правой части уравнения, получим:
Проще:
зная определение логарифма
Применяя
формулу
Или: Сначала
используем формулы
Затем применяем основное логарифмическое тождество :
В бланк ответов:
|
.
отсюда
,
сразу получим
,
имеем:
отсюда
и
для левой части уравнения:
