Задания 6: рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения
Задание 6. Найдите корень уравнения
|
.Пример 1 (Линейное уравнение).
Пример 2 (Квадратное уравнение).
Задание 6. Найдите корень уравнения х2 - 13х + 36 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
|
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 3 (Дробно-рациональное уравнение).
Задание 6. Найдите корень
уравнения
|
Пример 4 (Дробно-рациональное уравнение).
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Умножим обе части уравнения на х - 10, получим: х(х-10) = -7х+40, х2-10х = -7х+40, х2-10х +7х-40=0, х2-3х -40=0, где а = 1, b = -3, с = -40. Имеем
Итак,
Осталось проверить, обращают ли
найденные корни в нуль выражение
х-10, т.е. проверить выполнение условия
х-10
8 - 10 = -2; - 5 – 10 = -15 , значит, являются корнями уравнения. Меньший из них -5. В бланк ответов:
|
.
Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе укажите меньший из
них.
2
корня, которые найдем по формуле:
т.е.
- корни заданного уравнения.
0.
Иррациональные уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала (корня), называется иррациональным.
Рассмотрим решение простейших
иррациональных уравнений вида
или
методом возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень:
1) возводим обе части заданного уравнения
в п-ю степень:
или
;
2)
учитывая, что
получим уравнение f(x)=(g(x))п
или f(x)=Сп;
3) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 5.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим х – 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка. Подставив 67 вместо х
в исходное уравнение, получим
|
т.е. 2 = 2 – верное равенство. Значит, х
= 67- корень данного уравнения.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в куб, получим х + 10 = 125, откуда х = 115.
Проверка. Подставив 115 вместо х
в исходное уравнение, получим
|
т.е. 5= 5 – верное равенство. Значит, х
= 115- корень данного уравнения.Пример 6.
Пример 7.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 5х + 6 = 36, 5х = 36 - 6; 5х = 30; х = 6.
Проверка. Подставив 6 вместо х в
исходное уравнение, получим
В бланк ответов:
|
.
,
т.е. 6 = 6 – верное равенство. Значит,
х = 6 - корень данного уравнения.Пример 8.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим 24 - 4х = 16, х = 2.
Проверка. Подставив 2 вместо х
в исходное уравнение, получим
|
.
,
т.е. 4 = 4 – верное равенство. Значит,
х = 2 - корень данного уравнения.Пример 9.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат,
получим
Проверка. Подставив -6 вместо х
в исходное уравнение, получим
|
.
,
6 – 5 х= 36, х = - 6 .
,
т.е.
– верное равенство. Значит, х = -6
- корень данного уравнения.
Пример 10.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим -24 – 5 х = 16, х = -8.
Проверка. Подставив -8 вместо х
в исходное уравнение, получим
В бланк ответов:
|
.
,
т.е. 4 = 4 – верное равенство. Значит,
х = -8 - корень данного уравнения.Пример 11.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х = х2 - 4х + 4, х2 – 4х - х + 4= 0, х2 – 5х + 4= 0, а = 1, b = -5, с = 4. Имеем
Итак,
Проверка. Подставив 4 вместо х
в исходное уравнение, получим
Подставив 1 вместо х в исходное
уравнение, получим
|
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.
2
корня, которые найдем по формуле:
т.е.
- корни заданного уравнения.
, 2 = 2 – верное равенство. Следовательно,
4 является корнем уравнения.
1 = -1 – неверное равенство. Следовательно,
1 не является корнем уравнения. Говорят,
что это посторонний корень.Пример 12.
Задание 6. Найдите корень уравнения
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим - 42 - 13х = х2, откуда следует, что х 2 + 13х +42 = 0, где а = 1, b = 13, с = 42. Имеем
Итак,
Проверка. Подставив -6 вместо х
в исходное уравнение, получим
Подставив -7 вместо х в
исходное уравнение, получим
Значит, х = -6, х = -7 - корни данного уравнения. Меньший из них - 7.
В бланк ответов:
|
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.
2
корня, которые найдем по формуле:
т.е.
- корни заданного уравнения.
6 = 6 – верное равенство.
7 = 7 – верное равенство.