Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Львовский национальный университет им. И. Франко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Чммф.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

5.3 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

1.2 Задача про мінімум квадратичного функціоналу. Існування розв’язку задачі про мінімум функціоналу.

Яку функцію називають узагальненим розв’язком рівняння Au=f ?

_-₅₀_% Яка надає максимум функціоналу енергії на множині функцій з простору H_a

_100% Яка надає мінімум функціоналу енергії на множині функцій з простору H_a

_-_50% З якої випливає обмеженість функціоналу на множині функцій простору H_a

Якщо А – додатний оператор, тоді чи має розвязок задача Au=f ?

₁₀₀_% Має і він єдиний

_-50% Не має розвязку
_-50% Має безліч розв’язків

Чи задовольняє скалярний добуток (u,v)_A=(Au,v) аксіоми гільбертового простору ?

_-50% Так, задовольняє перші дві

_100% Так, задовольняє всі

_-50% Не задовольняє

Нехай А-додатний оператор і задача Au=f має розвязок, то якому функціоналу він надає мінімум?

_-50% F(u)=(Au,u)

₁₀₀_%F(u)=(Au,u)-2(u,f)

_-50% F(u)=2(u,f)

Який скалярний добуток задовольняє всі аксіоми гільбертового простору?

_-50% (u,v)_A=(u,v)+(v,u)

_100% (u,v)_A=(Au,v)

_-50% (u,v)_A=(Au,v)+(u,Av)

Яка норма відповідає енергетичному скалярному добутку (u,v)_A=(Au,v) ?

_-50% ||u+v||_A=(u,v)_A^1/2

_100% ||u||_A=(u,u)_A^1/2

_-50% ||u-v||_A=-(u,u)_A^1/2

Якщо А – додатний оператор, тоді чи має розвязок варіаційна задача

F(u)=(u,u)_A-2(u,f)?

₁₀₀_% Має u₀є H_A і він єдиний

_-50% Не має розвязку
_-50% Має безліч розв’язків u_iє H_A

Якщо простір Н_А- сепарабельний, то чи можна в ньому знайти систему функцій (якщо можна - яку)?

₁₀₀_% ортонормовану

_-50% ортогональну
_-50% не можна знайти

У якому просторі можна знайти ортонормовану систему функцій {f_n}?

₁₀₀_%У сепарабельному просторі Н_А

_-50% У гільбертовому просторі Н
_-50% У банаховому просторі B

Якщо послідновність {f_n} збіжна за енергетичною нормою скалярного добутку (u,v)_A=(Au,v) то за чим вона ще збіжна ?

_-50% за нормою бананового простору Р

₁₀₀_%за нормою вихідного простору Н

_-50% за нормою сепарабельного простору Н_А

Який вигляд має повний простір Н_А?

_-50% Н_А=D_A

_100% Н_А=D_Aдоповнений Г_А

_-50% Н_А=D_Абез Г_А

Яка нерівність виконується для довільного u є Н_А,де Н_А–енергетичний простір?

_-50% ||u||_A>γ||u||

_100% ||u||_A>=γ||u||

_-50% ||u||_A=γ||u||

2.3. Ермітові одновимірні апроксимації на скінченних елементах.

Використовуючи ермітові функції, за вузлові параметри обираєм значення:

_50%Функції

_-₁₀_0%Другої похідної функції

_50%Першої похідної функції

_-₁₀_0%Всі перелічені варіанти

Вищий порядок гладкості мають базисні функції:

_-100%Кусково-лінійні
_-100%Лагранжевого типу

_100%Ерміта

Дані вузлові параметри використовують для полінома Ерміта

_-100%Першого степеня
_-100%Другого степеня

_100%Третього степеня

Базисні функції ермітового типу є неперервними:

_100%Разом з похідними першого порядку

_-100%Разом з похідними другого порядку
_-100%Нічого з переліченого

На рисунку зображена

_100%Ермітова базисна функція першого типу

_-100%Кусково-поліноміальна апроксимуюча функція
_-100%Ермітова базисна функція другого типу

На рисунку зображена

_-100%Ермітова базисна функція першого типу
_-100%Кусково-поліноміальна базисна функція

_100%Ермітова базисна функція другого типу

Нехай задано два скінченні елементи прямокутної форми, що мають спільну сторону вздовж лінії . На елементах побудовані апроксимаційні формули ермітового типу. Чи є функції неперервними в разі переходу через спільну границю елементів:

_-100%Так, лише функція

_100%Так, функція і похідні до першого порядку

_-100%Ні, лише похідні першого порядку
_-100%Жоден із перекислених варіантів

Для побудови кубічних Ермітових одновимірних апроксимацій на скінченних елементах вигляду за вузлові параметри необхідно вибрати: 1) 2) 3)

_-100%Лише 1
_-100%Лише 3

_100%Лише 2

_-100%Жодного із перелічених варіантів

Базисні функції бікубічних апроксимацій ермітового типу на прямокутному скінченному елементі можна поширити на всю область. При цьому розширенні в разі переходу через спільні сторони прямокутників зберігається:

_-100%Розривність

_100%Неперервність до перших похідних включно

_-100%Неперервність до других похідних включно
_-100%Лише неперервність функції

У виразі для апроксимації функції де і перша компонента в відповідає

_100%Значенню функції в і-1 вузлі

_-100%Значенню похідної в і-1 вузлі
_-100%Значенню комбінації функції і її похідної в і-1 вузлі

У виразі для апроксимації функції де і друга компонента в відповідає

_-100%Значенню функції в і-1 вузлі

_100%Значенню похідної в і-1 вузлі

_-100%Значенню комбінації функції і її похідної в і-1 вузлі

У виразі для апроксимації функції де і третя компонента в відповідає

_100%Значенню функції в і вузлі

_-100%Значенню похідної в і вузлі
_-100%Значенню комбінації функції і її похідної в і-1 вузлі
_-100%Значенню комбінації функції і її похідної в і-тому вузлі

У виразі для апроксимації функції де і перша компонента в обчислюється за формулою: 1) 2) 3) де i

_100%1

_-100%2
_-100%3
_-100%Жодної правильної відповіді

У виразі для апроксимації функції де і друга компонента в обчислюється за формулою: 1) 2) 3) де i

_100%1

_-100%2
_-100%3
_-100%Жодної правильної відповіді

У виразі для апроксимації функції де і третя компонента в обчислюється за формулою: 1) 2) 3) де i

_-100%1
_-100%2

_100%3

_-100%Жодної правильної відповіді

Для бікубічної апроксимації ермітового типу у кожній вузловій точці маємо:

_-100%Один вузловий параметр
_-100%Два вузлових параметри
_-100%Три вузлових параметри

_100%Чотири вузлових параметри

_-100%Жодного вузлового параметра

Ермітова базисна функція має вигляд: 1) 2)

_-100% Лише перший варіант

_100% Обидва варіанти

_-100% Лише другий варіант
_-100%Жоден з перечислених варіантів

3.7. Крайові задачі для р-ня Пуассона.

Другою крайовою умовою для рівняння Пуассона є :

_-100%Задача Діріхле

_100%Задача Неймана

_-100%Задача Ньютона

Задача Неймана при (k = 2) для рівняння Пуассона має

_100%не має єдиного розв’язку

_-100%єдиний розв’язок
_-100%має безліч розв’язків

Для того щоб дослідити додатну визначеність операторів головних крайових задач для неоднорідного рівняння Лапласа використовуємо :

_-100%нерівність Коші

_100%нерівності Фрідріхса і Пуанкаре

_-100%нерівність Чебишева

У другій крайовій умові (задача Неймана) для рівняння Пуассона du(x)/dv=0, xϵГ де, (мал. 14.4.1)

_-100%a)

_100%b)

Крайова задача Неймана для рівняння Пуассона має вигляд : (мал. 14.5.1)

_100%a)

_-100%b)
_-100%c)

Крайова задача Діріхле для рівняння Пуассона має вигляд : (мал. 14.6.1)

_-100%a)

_100%b)

_-100%c)

Крайова задача Ньютона для рівняння Пуассона має вигляд : (мал. 14.7.1)

_-100%a)
_-100%b)

_100%c)

Для крайової задачі Неймана множина області визначення оператора A_k набуде вигляду : (мал. 14.8.1)

_-100%a)

_100%b)

_-100%c)

Для крайової задачі Діріхле множина області визначення оператора A_k набуде вигляду : (мал. 14.9.1)

_100%a)

_-100%b)
_-100%c)

Для крайової задачі Ньютона множина області визначення оператора A_k набуде вигляду : (мал. 14.10.1)

_-100%a)
_-100%b)

_100%c)

Нерівність Фрідріхса має вигляд (мал. 14.11.1)

_-100%a)

_100%b)

_-100%c)

Нерівність Фрідріхса має вигляд (мал. 14.12.1)

_-100%a)

_100%b)

_-100%c)

Оператори трьох головних крайових задач для неоднорідного рівняння Лапласа є додатно визначеними :

_-100%ні

_100%так

Задачу Ньютона можна сформувати як варіаційну задачу вигряду : (мал.14.14.1)

_-100%a)

_100%b)

Задачу Неймана можна сформувати як варіаційну задачу вигряду : (мал. 14.15.1)

_-100%a)

_100%b)

Функцію u у варіаційному вигляді задачі Ньютона належить простору : (мал. 14.16.1)

_-100%a)

_100%b)

_-100%c)

Функцію u у варіаційному вигляді задачі Неймана належить простору : (мал. 14.17.1)

_100%a)

_-100%b)
_-100%c)

Функцію u у варіаційному вигляді задачі Діріхле належить простору : (мал. 14.18.1)

_-100%a)
_-100%b)

_100%c)

В неоднорідному рівнянні Лапласа (мал. 14.19.1): (мал. 14.19.2)

_100%a)

_-100%b)
_-100%c)

Це нерівність (14.20.1)

_100%Фрідріхса

_-100%Пуанкаре

4.2 Властивості спектра оператора.

Який вигляд має задача на власні значення?

_100%Au-λu=0

_-50% Au-u=Bu
_-50% Au= λu+с

У якому просторі діє оператор А задачі на власні значення вигляду:

Au-λu=0?

₁₀₀_%У гільбертовому просторі Н=L₂

_-50% У сепарабельному просторі Н
_-50% У банаховому просторі B

Що таке спектр оператора ?

₁₀₀_%сукупність власних чисел і власних значень оператора

_-50% Власні числа оператора
_-50% Власні значення оператора

Що таке власні значення оператора А?

_100%значення λ для яких існує відмінний від тотожного нуля розвязок задачі Au-λu=0

_-50% нетривіальні значеня розвязку задачі Au-λu=0
_-50% сукупність розв’язків задачі Au-λu=0

Що таке власні функції оператора А?

_100%нетривіальні значеня розвязку задачі Au-λu=0, які відповідають власним числам

_-50% λ для яких існує відмінний від тотожного нуля розвязок задачі Au-λu=0
_-50% сукупність розв’язків задачі Au-λu=0

Якими числами є власні числа задачі Au-λu=0 ?

₁₀₀_%дійсними

_-50% комплексними
_-50% натуральні

Якими є власні числа додатного оператора ?

₁₀₀_%невідємними

_-50% додатними
_-50% ненульовими

Якими є власні числа додатно визначеного оператора ?

₁₀₀_%додатними

_-50% невідємними
_-50% недодатними

Якими є власні функції симетричного оператора, що відповідають різним власним числам ?

₁₀₀_%ортогональні

_-50% ортонормовані
_-50% ортонормовані і ортогональні

Якими є власні функції додатно визначеного оператора, що відповідають різним власним числам ?

₁₀₀_%ортогональні за енергією

_-50% ортонормовані за енергією
_-50% ортонормовані і ортогональні за енергією

Що визначає якісні характеристики власних чисел та власних функцій ?

₁₀₀_%властивості симетрії, додатності і додатної визначеності оператора А

_-50% ортонормованість оператора А
_-50% ортонормованість і ортогональність оператора А

Яка задача є спектральною?

_100%Au-λu=0

_-50% Au-λu=Bu+c
_-50% Au=0.

Для системи звичайних диференціальних рівнянь вкажіть правильні крайові умови: a) b) c)

_-100%a)
_-₁₀₀_%b)

_100%c)

Щоб отримати крайову задачу вигляду необхідно в крайовій задачі зробити таку заміну: a) b)

_100%a)

_-₁₀_0%b)
_-100%Жодна з відповідей не вірна

У гільбертовому просторі векторних функцій скалярний добуток визначається наступним співвідношенням: a) b) c)

_100%a)

_-₁₀_0%b)
_-₁₀_0%c)
_-100% Жодна з відповідей не вірна

У гільбертовому просторі векторних функцій норма визначається наступним співвідношенням: a) b) c)

_-100%a)
_-₁₀_0%b)

_100%c)

Для крайової задачі область визначення оператора оператора можна задати співвідношенням: a) b) c)

_-₁₀₀_%a)

₁₀₀_%b)

_-₁₀₀_%c)

Маємо крайову задачу закінчіть формулювання леми: Нехай – симетричні матриці, тоді оператор задачі (1), (2) …

_100%симетричний

_-100%додатний
_-100%додатно визначений

Маємо крайову задачу закінчіть формулювання теореми: Нехай – додатно визначена матриця а – невід’ємна матриця Тоді оператор задачі (1), (2) …

_-100%симетричний
_-100%додатний

_100%додатно визначений

Якщо оператор задачі додатно визначений. Тоді її можна записати у такому варіаційному формулюванні: a) b)

_100%a)

_-100%b)
_-100%немає правильної відповіді

Який порядок має система звичайних диференціальних рівнянь:

_-100%перший

_100%другий

_-100%k-тий
_-100%(s-1)-ий

Матриця системи лінійних алгебричних рівнянь МСЕ формується з матриць де тут є

_100%матриця мас

_-100%матриця жорсткості
_-100%гранична матриця
_-100%немає правильної відповіді

Матриця системи лінійних алгебричних рівнянь МСЕ формується з матриць де тут є

_100%матриця жорсткості

_-100%матриця мас
_-100%гранична матриця
_-100%немає правильної відповіді

Матриця жорсткості системи рівнянь МСЕ обчислюється наступним чином: a) b) c)

_100%a)

_-100%b)
_-100%c)

Матриця мас системи рівнянь МСЕ обчислюється наступним чином: a) b) c)

_-₁₀₀_%a)

₁₀₀_%b)

_-₁₀₀_%c)

Стовпець правих частин системи рівнянь МСЕ обчислюється наступним чином: a) b) c)

_-100%a)
_-₁₀_0%b)

_100%c)

Структура системи лінійних алгебраїчних рівнянь на рисунку зображена:

₁₀₀_%вірно

_-₁₀₀_%невірно

Варіаційні формулювання або є еквівалентними:

₁₀₀_%так

_-₁₀₀_%ні

Апроксимація на скінченних елементах.

Теорема про апроксимацію кусково-лінійними базисними функціями.

Функція з компактним носієм – це функція яка

_-₁₀₀_%Відмінна від нуля на всій області визначення

_100%Відмінна від нуля в певній частині області визначення

_-100_%Має область значень [1,2]

МСЕ - це

_-100_%Метод середніх елементів

₁₀₀_% Метод скінченних елементів

_-100_%Міжнародний союз економістів

В МСЕ область скінченного елемента позначають через

_-100%N
_100%
_-100%Q

В МСЕ (за означенням Сьярле) через позначають

_100% Область скінченного елемента
_-100_%k – вимірний простір функцій
_-100_%Набір лінійно незалежних функціоналів

В МСЕ (за означенням Сьярле) через N позначають

_-_100% Область скінченного елемента
₁₀₀_%k – вимірний простір функцій
_-100_%Набір лінійно незалежних функціоналів

В МСЕ (за означенням Сьярле) через Q позначають

_-_100% Область скінченного елемента
_-₁₀₀_%k – вимірний простір функцій
₁₀₀_%Набір лінійно незалежних функціоналів

В МСЕ трійку значень називають

_-_100% власними значеннями
_100% скінченним елементом
_-_100% набір лінійно незалежних функцій

Нехай скінченний елемент і нехай базис простору , причому , тоді базис називають

_-_100% власним
_100% вузловим
_-_100% компактним

Матричний запис апроксимуючої функції на скінченному елементі має вигляд

_-100%
_100%
_-100%
_-100%

Похибка апроксимації кусково-лінійними базисними функціями оцінюється через

_50%
_50%
_-100%
_-100%

4.9. Числовий аналіз спектральної задачі Штурма-Ліувіля.

Задача на власні значення для оператора Штурма-Ліувілля має вигляд

_100%
_-100%
_-100%

_-100%

Умови накладені на коефіцієнти p(x) та q(x) для задачі

У вигляді і вважатимемо їх неперервними функціями забезпечує

_50% Існування дискретного спектра оператора задачі
_50% Нескінченну послідовність дійсних чисел
_-_100% Не існування спектра оператора задачі
_-_100% Існування неперервного спектра оператора задачі

Якщо p,q=const то для

власні числа і функції

_-_100% Не існують
_100% Можна знайти у явному вигляді
_-_100% Набувають лише від’ємних значень

Якщо коефіцієнти оператора Штурма-Ліувілля є сталими то елементи матриць і є

_100% Сталими числами
_-_100% Інтегралами
_-_100% Поліномами

Оцінка похибки задачі на власні значення для оператора Штурма-Ліувілля становить

_100%
_-100%
_-100%

1.9. Абстрактна вар. задача і 1.10. Метод Бубнова-Гальоркіна.

Для побудови наближеного розв’язку варіаційної задачі (1)

_-100% – лінійно незалежна система,

₁₀_0% – лінійно незалежна система, – повна система,
_-₁₀_0% – повна система,

скінченновимірний підпростір простору , натягнутий на базисні функції . Наближений розв’язок варіаційної задачі, який шукаємо у м-м Бубнова-Гальоркіна, запишемо у вигляді

_100%

_-₁₀_0%
_-₁₀_0%

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) запишемо , де

_100% – невідомі коефіцієнти;

_-₁₀_0% – базисні функції;
_-₁₀_0% – наближені розв'язки;

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) запшемо , де

_-_100% – невідомі коефіцієнти;

₁₀_0% – базисні функції;
_-₁₀_0% – наближені розв'язки;

Для знаходження невідомих коефіцієнтів наближений розв’язок підставимо у варіаційну задачу і приймемо . Отримаємо СЛАР:

_-₁₀_0%

_100%

_-₁₀_0%

Єдиність розв'язку даної СЛАР випливає:

_-100% з умов, накладених на базисні функції;
_-100% з леми Сеа;
_100% з теореми Лакса-Мільграма;

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) шукаємо у S_n, де

_100%S_n - повний підпростір простору V;

_-100% S_n - простір Соболєва;

_-100% правильна відповідь відсутня;

Існування розв'язку в S_n забезпечує

_-100% лема Сеа;
_-100% теорема про мінімум функціоналу енергії;
_100% теорема Лакса-Мільграма;

Для дослідження проблеми збіжності послідовності наближених розв'язків використовують

_-100% лему Сеа;
_-100% теорема про мінімум функціоналу енергії;
_100% теорема Лакса-Мільграма;

Згідно леми Сеа виконується наступна оцінка:

_-100%
_-100%
_100% ;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% C > 0;
_-100% C не залежить від вимірності простору S_n;
_100% всі варіанти правильні;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_100% u₀ – розв’язок варіаційної задачі;
_-100% u₀ – наближений розв’язок;
_-100% u₀ – довільна функція з підпростору S_n;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% u_n – розв’язок варіаційної задачі;
_100% u_n – наближений розв’язок;
_-100% u_n – довільна функція з підпростору S_n;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% v_n – розв’язок варіаційної задачі;
_-_100% v_n – наближений розв’язок;
_100% v_n – довільна функція з підпростору S_n;

На підставі леми Сеа доводимо

_-100% теорему про збіжність послідовності наближених розв’язків до узагальненого розв’язку;
_100% існування розв’язку варіаційної задачі;
_-100% всі варіанти правильні;

Теорема про збіжність послідовності наближених розв’язків методу Бубнова-Гальоркіна до узагальненого розв’язку варіаційної задачі, дає таку оцінку:

_-100%
_100%
_-100%

Оцінка означає

_100% збіжність за нормою послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г до слабкого розв'язку;
_100% збіжність за нормою послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г до точного розв'язку;

_-100% збіжність послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г ;

Для побудови наближеного розв’язку варіаційної задачі (1)

_-100% – лінійно незалежна система,

₁₀_0% – лінійно незалежна система, – повна система,
_-₁₀_0% – повна система,

скінченновимірний підпростір простору , натягнутий на базисні функції . Наближений розв’язок варіаційної задачі, який шукаємо у м-м Бубнова-Гальоркіна, запишемо у вигляді

_100%

_-₁₀_0%
_-₁₀_0%

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) запишемо , де

_100% – невідомі коефіцієнти;

_-₁₀_0% – базисні функції;
_-₁₀_0% – наближені розв'язки;

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) запшемо , де

_-_100% – невідомі коефіцієнти;

₁₀_0% – базисні функції;
_-₁₀_0% – наближені розв'язки;

Для знаходження невідомих коефіцієнтів наближений розв’язок підставимо у варіаційну задачу і приймемо . Отримаємо СЛАР:

_-₁₀_0%

_100%

_-₁₀_0%

Єдиність розв'язку даної СЛАР випливає:

_-100% з умов, накладених на базисні функції;
_-100% з леми Сеа;
_100% з теореми Лакса-Мільграма;

Наближений розв’язок варіаційної задачі (1) шукаємо у S_n, де

_100%S_n - повний підпростір простору V;

_-100% S_n - простір Соболєва;

_-100% правильна відповідь відсутня;

Існування розв'язку в S_n забезпечує

_-100% лема Сеа;
_-100% теорема про мінімум функціоналу енергії;
_100% теорема Лакса-Мільграма;

Для дослідження проблеми збіжності послідовності наближених розв'язків використовують

_-100% лему Сеа;
_-100% теорема про мінімум функціоналу енергії;
_100% теорема Лакса-Мільграма;

Згідно леми Сеа виконується наступна оцінка:

_-100%
_-100%
_100% ;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% C > 0;
_-100% C не залежить від вимірності простору S_n;
_100% всі варіанти правильні;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_100% u₀ – розв’язок варіаційної задачі;
_-100% u₀ – наближений розв’язок;
_-100% u₀ – довільна функція з підпростору S_n;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% u_n – розв’язок варіаційної задачі;
_100% u_n – наближений розв’язок;
_-100% u_n – довільна функція з підпростору S_n;

В лемі Сеа виконується оцінка , де

_-100% v_n – розв’язок варіаційної задачі;
_-_100% v_n – наближений розв’язок;
_100% v_n – довільна функція з підпростору S_n;

На підставі леми Сеа доводимо

_-100% теорему про збіжність послідовності наближених розв’язків до узагальненого розв’язку;
_100% існування розв’язку варіаційної задачі;
_-100% всі варіанти правильні;

Теорема про збіжність послідовності наближених розв’язків методу Бубнова-Гальоркіна до узагальненого розв’язку варіаційної задачі, дає таку оцінку:

_-100%
_100%
_-100%

Оцінка означає

_100% збіжність за нормою послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г до слабкого розв'язку;
_100% збіжність за нормою послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г до точного розв'язку;

_-100% збіжність послідовності наближених розв'язків варіаційної задачі методу Б-Г ;

1.8. Слабкий розв’язок крайової задачі і 1.9. Абстрактна варіаційна задача.

Теорему про функціонал енергії можна використовувати для запису варіаційних формулювань задач, оператори яких є

_-33.33% від’ємними

_100% принаймі додатніми

_-33.33%принаймі відємними
_-33.33%будь-якими

Безрозмірна стала, число Пекле позначається

_-33.33%

_100%

_-33.33%
_-33.33%

Простір Соболєва позначається

_-50%
_-50%

_100%

Простір Соболєва визначає функції які

_-50% які диференційовані на проміжку разом з узагальненими похідними другого порядку.
_-50% які диференційовані на проміжку разом з узагальненими похідними першого порядку.

_100% які інтегровані на проміжку разом з узагальненими похідними до другого порядку.

Нехай маємо одновимірний процесс перенесення забруднень та граничні умови тоді область визначення цієї задачі можна записати

_-33.33%

_100%

_-33.33%
_-33.33%

Слабким розв'язком задачі

називається функція яка

_-₁₀₀_% задовольняє варіаційне рівння та виконується
₁₀₀_% задовольняє варіаційне рівння та виконується

Якщо функція є слабким розв’язком задачі тоді

_-100% не задовольняє варіаційне формулювання задачі

_100% задовольняє варіаційне формулювання задачі

Задано варіаційне рівняння

тоді загальний вигляд варіаційної задачі матиме вигляд

_-100% де

_100% де

Задано варіаційну задачу

де

Питання існування і єдиності слабкого розв’язку цієї варіаційної задачі розглянуто у теоремі

_-33.33% про мінімум квадратичного функціонала

_100% Лакса - Мільграма

_-33.33%
_-33.33%

У теоремі Лакса – Мільграма розглядається

_-50% простір Соболєва
_-50%

_100% простір Гільберта

Згідно з теоремою Лакса – Мільграма білінійна норма

_-50%
_-50%

_100%

Згідно з теоремою Лакса – Мільграма білінійна норма

_-50% неперервна
_-50%

_100% неперервна та V- еліптична

Згідно з теоремою Лакса – Мільграма лінійна норма

_-50% неперервна та

_100% неперервна

Згідно з теоремою Лакса – Мільграма лінійна норма

неперервна тобто виконується

_-50%
_-50%

_100%

За теоремою Лакса – Мільграма варіаційна задача

де

де на задані лінійні і білінійні норми задані певні обмеження.

Має єдиний розв’язок і виконується

_-50% , α - стала
_-50% , α - стала

_100% , α - стала