2.6.8. Транспортная задача на максимум и метод спуска

Решение транспортной задачи для нахождения максимального функции. 

Проверить задачу на сбалансированность:

• составить план базисным способом северо-западного угла, рассчитать значение функции цели базисного плана;

• составить базисный план методом наилучшего элемента (максимального элемента) на максимальное значение функции цели. Рассчитать функцию цели (F);

• сравнить результат решения двух базисных планов;

• проверить базисный план методом наилучшего элемента на максимальном значении функции цели на оптимальном потенциале и проверить улучшение плана до оптимального результата.

Метод спуска: все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Это позволяет написать общую схему методов спуска.

Решается задача минимизации функции (x) на всём пространстве E_n. Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательности {x_k}. В качестве начального приближения выбирается любая точка x₀E_n. Последовательные приближения x₁, x₂, … строятся по следующей схеме:

• в точке x_k выбирают направление спуска - S_k;

• находят (k+1)-е приближение по формуле x_k+1=x_k-h_kS_k.

Направление S_k выбирают таким образом, чтобы обеспечить неравенство f(x_k+1)<f(x_k) по крайней мере для малых значений величины h_k. На вопрос, какому из способов выбора направления спуска следует отдать предпочтение при решении конкретной задачи, однозначного ответа нет.

Число h_k определяет расстояние от точки x_k до точки х_k+1. Это число называется длиной шага или просто шагом. Основная задача при выборе величины h_k - это обеспечить выполнение неравенства (x_k+1)<(x_k).

Величина шага сильно влияет на эффективность метода. Большей эффективностью обладает вариант метода, когда шаг по каждой переменной определяется направляющими косинусами градиента(в градиентных методах).

x_k+1=x_k-h_k cos_φ

где - cos_φ=

В этом случаи величина рабочего шага не зависит от величины модуля градиента, и ею легче управлять изменением h. В районе оптимума может возникать значительное «рыскание», поэтому используют различные алгоритмы коррекции h.

Наибольшее распространение получили следующие алгоритмы:

1. h ⁱ= const = h (без коррекции);

_2. h ⁱ = h^i-1/2 если R(xⁱ) < R(x ^i-1); hⁱ = h ^i-1 если R(xⁱ)> R(x ^i-1);

3. hⁱ = h ^i-1, если α₁≤α≤α₂; hⁱ = 2h^i-1, если α₁>α; hⁱ = , если α₂<α;

где α – угол между градиентами на предыдущем и текущем шаге, α₁ и α₂ – заданные пороговые значения выбираются субъективно.

Вдали от оптимума направление градиента меняется мало, поэтому шаг можно увеличить (второе выражение), вблизи от оптимума направление резко меняется (угол между градиентами R(x) большой), поэтому h сокращается (третье выражение).