2.6.3. Математическая модель транспортной задачи

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются xij ..,i-(=1,2, ..., k), j= 1,2, ..., n — объемы перевозок от каждого i -го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные можно записать в виде матрицы перевозок: [6]

X=

Или в виде таблицы:

	a 1	a2	…	an
b 1	x 11	x 12		x 1n
b 2	x 21	…		x 2n
…	…	…	…	…
bk	x k1	…	…	x kn

Так как произведение c_ijx_ij . определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из k уравнений описывает тот факт, что запасы всех k поставщиков вывозятся полностью:

Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей:

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, то есть:

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель — закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные X =(xij) задачи удовлетворяющие системе ограничений:

условиям неотрицательности x_ij ≥ 0 и обеспечивающие минимум целевой функции. 

Математическая модель транспортной задачи может быть записана в векторном виде. Для этого рассмотрим матрицу A системы уравнений-ограничений задачи.

A=

Сверху над каждым столбцом матрицы указана переменная задачи, коэффициентами при которой являются элементы соответствующего столбца в уравнениях системы ограничений. Каждый столбец матрицы A, соответствующий переменной х_ij.., является вектором-условием задачи и обозначается через A_ij. Каждый вектор имеет всего k+ n координат, и только две из них, отличные от нуля, равны единице. Первая единица вектора A_ij стоит на i-м месте, а вторая - на (k+j)-м  месте, то есть:

Индекс координат

A_ij= = A₀=

Таким образом, в векторной форме задача будет выглядеть так: 

;

;