Практическая работа № 7 использование электронной таблицы для численного моделирования

Цель работы:

• научиться использовать электронные таблицы для выбора оптимального решения поставленной задачи и проверки правиль­ности построения математической модели.

Электронная таблица выполняет не только функцию автома­тизации вычислений. Она является очень эффективным средством проведения численного моделирования ситуации или объекта, для математического описания которых (т.е. построения математичес­кой модели) используется ряд параметров. Часть этих парамет­ров известна, а часть рассчитывается по формулам. Меняя во все­возможных сочетаниях значения исходных параметров, вы буде­те наблюдать за изменением расчетных параметров, и анализиро­вать получаемые результаты. Excel производит такие расчеты быстро и без ошибок, предоставляя в считанные минуты множе­ство вариантов решения поставленной задачи, на основании ко­торых вы выберите наиболее приемлемое. Поиск решения и мо­делирование - одни из самых мощных инструментов Excel.

ЗАДАЧА № 1

Чему будет равна численность населения России в начале третьего тысячелетия?

Сразу ясно, что задачу не решить, если не знать, как со време­нем будет меняться численность населения России, т.е. необходи­мо иметь функцию, выражающую зависимость численности на­селения от времени. Обозначим эту функцию f(t). Но такая функ­ция неизвестна, так как народонаселение зависит от многих факторов: экологии, состояния медицинского обслуживания, морали, права и даже от политической обстановки. Но, обобщив демогра­фические данные, можно указать общий вид функции f(t):

(1)

где коэффициенты а, b для каждого государства свои; е - основание натурального логарифма.

Эта формула лишь приближенно отражает реальность. Одна­ко слишком большая точность и не нужна. Будет хорошо, если численность населения будет спрогнозирована с точностью до нескольких миллионов.

Как же определить а и b? Идея состоит в том, что хотя а и b не известны, значение функции f(t) можно получить из ста­тистического справочника. Зная эти данные, можно прибли­женно подобрать а и b так, чтобы теоретические значения f(t), вычисленные по формуле (1), не сильно отличались от дан­ных справочника (т.е. максимальное отклонение теоретичес­ких результатов от фактических данных не должно быть слиш­ком большим). Каждое из отклонений — это модуль разности двух чисел: фактического и соответствующего теоретического значе­ний f(t). Максимальное отклонение называют погрешностью. Не­обходимо найти такие а и b, чтобы погрешность была наимень­шей.

Итак, математическая модель процесса изменения численно­сти населения такова. Предполагается, что:

1) зависимость численности населения от времени выражает­ся формулой

2) a=const и b=const следует считать справедливым лишь для не очень большого промежутка времени (например, 40 лет);

3) значения а и b можно найти с достаточной точностью, ми­нимизировав погрешность.

Исходные данные: сведения из статистического справочника за период с 1960 по 1995 г. (60<=t<=95).

Результаты:

1) значения а и b;

2) численность населения России в 2000 г. (при t=100).

Кроме того, установлена связь между исходными данными и результатами: сначала надо найти а и b, минимизируя погреш­ность, а затем при этих а и b вычислить значения f(100).

Итак, математическая модель составлена. Использование элек­тронной таблицы освобождает нас от составления программы. Нужно только определенным образом записать в таблицу исход­ные данные и математические соотношения, входящие в модель. После этого можно начать процесс численного моделирования исследуемой ситуации, т.е. подбор коэффициентов а и b в форму­ле (1), а затем определение численности населения.

ХОД РАБОТЫ