Теория решения задачи

Когда говорят о задачах математического программирования, то имеют в виду задачи оптимизации, которые формально сводятся к одной общей постановке:

найти значения переменных x₁,...,x_n, доставляющие максимум (минимум) заданной функции z=f(x₁,...,x_n) при условиях g_i(x₁,...,x_n)=b_i (i=1...m).

Условия, о которых идет речь, ограничивают выбор значений x₁,...,x_n и могут обладать самыми разнообразными свойствами, определяемыми видом функций g_i(x₁,...,x_n). В каждой из m строк здесь сохраняется какой-либо знак (равенство, неравенство).

Множество точек X=(x₁,...,x_n), удовлетворяющих системе ограничений g_i(X)=b_i (i=1...m), есть область определения U поставленной выше задачи.

Учитывая сказанное, можно дать краткую запись условий задачи математического программирования:

В основу классификации таких задач положены особенности функций z и g_i, встречающихся в конкретных исследованиях. Различают два основных класса задач – задачи линейного и нелинейного программирования. К первым относятся те, в которых и целевая функция z, и все функции g_i (i=1...m) линейны относительно переменных x_j (j=1...n), ко вторым – те, в которых присутствуют различного рода нелинейности.

Задачи нелинейного программирования.

Обратим внимание на ряд обстоятельств, способствующих разрешимости оптимизационных задач: наличие только глобального экстремума целевой функции; выпуклость области определения задачи; гладкость (дифференцируемость) функций f(X), g_i(X). Перечисленными свойствами обладают линейные задачи.

Большинству нелинейных задач присущи такие особенности, которые затрудняют (а иногда делают невозможными) исследования общего характера. В этих условиях большое значение приобретают результаты, содержащие обоснованные и пригодные для практики рекомендации.

Метод множителей Лагранжа.

Проблема отыскания условного экстремума скалярной функции многих переменных была изучена еще Лагранжем, предложившим так называемый метод множителей для задач с ограничениями – равенствами g_i(X)=b_i, i=1...m. Интересный сам по себе, этот метод позволил получить в более позднее время ряд обобщений, которые привели к разработке алгоритмов решения задач с неклассическими условиями.

Чтобы найти решение задачи вводят набор переменных ,называемых множителями Лагранжа. Составляют функцию Лагранжа:

Необходимые условия локального экстремума имеют вид:

где j=1...n; i=1...m.

Таким образом, решая систему уравнений с m+n неизвестными, находят точку X=(x₁⁰,...x_n⁰), в которой может иметь место экстремум функции f. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума.

Преимущество рассматриваемого метода в том, что можно не учитывать взаимную зависимость переменных (он сводит задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации). Недостатком же является необходимость решения громоздких уравнений, что далеко не всегда удается.

Решение задачи

Решение задачи сводится к отысканию оптимальных значений x₁, x₂, x₃, при которых достигается оптимум функции:

Задача имеет единственное ограничение – Сумма денег J не должна превышать потраченной на товары суммы, т.е.:

p₁, p₂, p₃, J >0 – цена товара и сумма не могут быть отрицательными.

Данную задачу нелинейного программирования можно решить используя метод множителей Лагранжа.

1. Вводим переменную ,полагая составляем функцию Лагранжа:

2. Находим частные производные от функции Лагранжа:

3. Приравниваем полученные производные к нулю и решаем систему уравнений с четырьмя неизвестными: x₁, x₂, x₃, :

(1)

(2)

(3)

(4)

4. Выражаем из уравнения (1):

5. Подставляя значение в уравнение (2) находим x₁:

6. Подставляя значение в уравнение (3) находим x₃:

7. Подставляя значения x₁ и x₃ в уравнение (4), находим x₂, а затем и все переменные:

Найденные переменные удовлетворяют условиям неотрицательности и являются оптимальными. Оптимальное значение целевой функции: