Обзор численных методов решения задач лп

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:

(1)

(2)

(3)

Будем предполагать, что , уравнения системы (2) линейно независимы и система (2) -(3) совместна.

При сделанных предположениях можно выбрать mнеизвестных, таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не обращался в ноль. Тогда задача (1)-(3) может быть приведена к виду, который называетсяспециальной формой задачи ЛП:

(4)

Одно из допустимых решений этой задачи можно найти, если переменные положить равными нулю. Такое решение называетсядопустимым базисным решением. Оно имеет вид:

Этому решению соответствует значение целевой функции . Переменныеназываютбазисными, а переменныеназываютнебазиснымиилисвободными. Число возможных базисов в задаче размерностиnсmограничениями не превосходит величину.

Известно, что каждому допустимому базисному решению соответствует вершина многоугольника допустимых решений, и оптимальное решение задачи достигается в одной из вершин многоугольника. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП находится среди допустимых базисных решений. Существуют рациональные способы последовательного перебора допустимых базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. К таким методам относится симплекс-метод.

Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум

Шаг 0Подготовительный этап. Приводим задачу ЛП к специальной форме (15).

Шаг 1Составляемсимплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение задачи (15). Значение целевой функции на этом решении

Шаг 2Проверка на оптимальность.

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы нет ни одного положительного элемента то,оптимальное решениезадачи ЛПнайдено:.Алгоритм завершает работу.

Шаг 3Проверка на неразрешимость.

Если среди есть положительный элемент, а в соответствующем столбценет ни одного положительного элемента, то целевая функцияLявляется неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случаеоптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4Выбор ведущего столбцаq.

Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент.Этот столбец объявляемведущим(разрешающим).

Шаг 5Выбор ведущей строки p.

Среди положительных элементов столбца находим элемент, для которого выполняется равенство:

Строку pобъявляемведущей(разрешающей). Элемент объявляемведущим (разрешающим).

Шаг 6Преобразование симплексной таблицы.

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем, вместо небазисной переменнойзаписываем;

б) ведущий элемент заменяем на обратную величину ;

в) все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ;

г) все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на;

д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».

Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый - соответствующий элемент ведущего столбца;

второй - соответствующий элемент ведущей строки;

третий - обратная величина ведущего элемента .

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.