4.7. Задачи о замене оборудования.

Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими

словами, старого оборудования - на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.

Построим модель ДП для следующей задачи о замене оборудования [6].

Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: - начальная стоимость оборудования; - стоимость производимой продукции на оборудовании возраста лет; - ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста лет; - ликвидная стоимость оборудования возраста лет.

При составлении модели ДП процесс замены рассматриваем как -шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца и т.д.) принимается решение либо о сохранении оборудования , либо о его замене , поэтому управление на -м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (и/или условные затраты) при сохранении оборудования, другая - тот же показатель при замене оборудования.

Состояние системы в начале -го шага - возраст оборудования. В конце -го шага под влиянием управления система перейдет в состояние (возраст оборудования увеличится на один год). Под влиянием управления система из состояния перейдет в состояние (замену произвели в начале -го года, возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояний имеет вид

Используя обратную вычислительную схему, получим рекуррентные соотношения Беллмана:

Полученное в результате решения задачи оптимальное управление представляет собой набор управлений и .

4.8. Пример решения задачи о замене оборудования

Решить задачу о замене оборудования, если =5, =10, , а разность задана таблично:

	0	1	2	3	4
	10	8	8	6	2

Этап . Условная оптимизация (движение от конца к началу).

С помощью уравнений Беллмана вычисляем последовательно для всех допустимых состояний:

; ; ; ; .

Уравнение Беллмана для шага $k=5$ имеет вид:

Поскольку начальное состояние 5-го шага есть возраст оборудования в начале 5-го шага, то может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Вычисление для =4, 3, 2, 1 усложняются тем, что необходимо учитывать значения , полученные на предыдущих шагах. Запишем эти вычисления для шага = 4.

Уравнение Беллмана имеет вид:

Возраст оборудования в начале 4-го шага может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

, ;

, ;

, ;

, ;

и т. д. Заметим, что для случая выражение, соответствующее , принимает постоянное значение для фиксированного . Вычисления оформляем в общую таблицу:

0	10	18	26	32	34
1	8	16	22	24
2	8	14	16
3	6	8
4	2

Этап . Безусловная оптимизация (движение от начала к концу).

Используя уравнения состояний, восстанавливаем безусловное оптимальное управление:

.

Как видно из таблицы, для состояния условное оптимальное управление имеет два значения и . Сначала рассмотрим случай :

.

Получено оптимальное управление . В случае состояние . Этому состоянию также соответствуют два значения условного оптимального управления. Рассмотрим оба случая:

1. ,

получено оптимальное управление ;

2. ,

получено оптимальное управление .

Восстановление оптимальных управлений дает три оптимальных варианта эксплуатации оборудования в течение 5 лет:

, , .

Из последней колонки таблицы получаем значение максимальной прибыли от эксплуатации оборудования в течение 5 лет , если начинаем эксплуатировать новое оборудование .