7.3. Определение абсолютных скоростей и ускорений точек и звеньев манипулятора

После того как принят закон изменения обобщенных координат q_i(t), можно в соответствии с изложенным ранее матричным методом определить положение схвата и любого другого звена манипулятора в пространстве, т. е. определить координаты их характерных точек и ориентацию как функцию времени.

Запишем вновь выражение (7.1):

^Тогда .

^{Так как , то или}

^{С формальной стороны назначение вектора столбца заключается в выделении из матрицы 4x4 подобного ему вектора-столбца, в основе которого будет четвертый столбец матрицы .}

^{Поэтому можно записать, с учетом того, что по четвертой координате скорость равна 0, т. к.dl/dt = 0:}

^{(Производная от матрицы равна матрице, все элементы которой есть производные от элементов исходной матрицы).}

Таким образом, для определения линейных скоростей точек манипулятора и, в частности схвата, достаточно взять производную по времени от соответствующей матрицы перехода и выделить в ней четвертый столбец.

Найдем производную матрицы перехода как производную произведения:

(7.6)

Если бы имелись аналитические выражения для каждого элемента результирующей матрицы перехода, то достаточно было бы продифференцировать по времени эти элементы и получить абсолютные скорости по каждой координате X,Y,Z. Однако обычно располагают только матрицами перехода, перемножая которые определяют координаты необходимых точек манипулятора и ориентацию его звеньев.

^{Если разрабатывается система управления для конкретного манипулятора, то возможно в некоторых случаях провести преобразования и перейти к конкретным аналитическим выражениям. Но это должно оцениваться в каждом конкретном случае: либо целесообразно сокращать затраты времени проектировщиков, либо машинное время при управлении роботом.}

После того как определены скорости по трем координатам, можно определить полную абсолютную скорость требуемых точек звеньев манипулятора, и в частности центра схвата.

.

Так как при исследовании кинематики манипуляторов используются специальные системы координат и перемещение i-го звена относительно (i-1)-го всегда происходит по оси Z_i-1 либо вокруг нее, то расчет производных от исходных матриц перехода кинематических пар несколько упрощается: чтобы продифференцировать матрицу перехода кинематической пары, достаточно ее умножить слева на матрицу дифференцирования _i-1,i:

если i-я кинематическая пара вращательная;

если i-я кинематическая пара поступательная,

то есть

Тогда выражение (7.6 ) примет вид:

Пример: Пусть матрица перехода будет иметь вид (поворот вокруг оси Z_i-1):

Тогда по правилу дифференцирования матриц

С использованием матрицы дифференцирования _i-1,i:

Определим матрицу , равную произведению, для вращательной и поступательной кинематических пар:

• вращательная кинематическая пара :

• поступательная кинематическая пара varia:

Зная аналитические выражения матриц скоростей, их можно непосредственно подставлять в выражение (7.6).

Смысл использования оператора дифференцирования , состоит в сохранении матриц, чтобы не переходить к другим аналитическим выражениям при составлении программ вычисления скоростей.