Интеграл Фурье для четной или нечетной функции.

Пусть - четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций, получаем:

(5.7)

Таким образом, интеграл Фурье для четной функции запишется так:

где a(u) определяется равенством (5.7).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции :

(5.8)

и, следовательно, интеграл Фурье для нечетной функции имеет вид:

где b(u) определяется равенством (5.8).

5.1. Комплексная форма интеграла Фурье.

Пусть функция может быть представлена интегралом Фурье (функция отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, то есть - сходится). Запишем для этой функции в действительной форме интеграл Фурье: , где

;

Используя формулы Эйлера (4.14) и (4.15), преобразуем подынтегральное выражение (5.5):

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на мнимую единицу i:

Обозначим:

при . Тогда подынтегральная функция в выражении (5.5) запишется в виде:

и

При этом

Т.е. (5.9)

Равенство (5.9) получено при условии, что , но можно показать, что формула (5.9) справедлива и при .

То есть равенство (5.9) справедливо при всех действительных значениях u. Окончательно можно записать комплексную форму интеграла Фурье:

при

(5.10)

Пример: записать интеграл Фурье в комплексной форме для функции

( )

, где

Вычислим для заданного примера коэффициент c(u):

c(u) - спектральная характеристика функции называется спектром функции

Итак, интеграл Фурье в комплексной форме для заданной функции имеет следующий вид:

Перейдем от комплексной формы интеграла Фурье к действительной форме интеграла Фурье для этой же функции.

Сложим первое и второе равенства, тогда

То есть:

Вычтем из первого равенства второе, тогда:

Тогда коэффициент b(u) соответственно равен:

Интеграл Фурье для данной функции в обычной, действительной форме примет вид:

Пример: представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию

- кусочно-гладкая и кусочно-монотонная, абсолютно интегрируемая функция, так как

то есть данную функцию можно представить с помощью интеграла Фурье:

, где

По формуле Эйлера , в нашем случае меняем на .

Тогда:

При вычислениях учитывали, что

Тогда комплексная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид:

Перейдем к действительной форме интеграла Фурье для той же функции:

Действительная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид:

Приложение.

Варианты индивидуальных домашних заданий.

Вариант № 1

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням “ x “ функцию

, найти интервал сходимости ряда к .

4. Разложить в ряд Фурье на интервале (0 ; π) по косинусам функцию:

Вариант № 2

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Вычислить приближенно

учитывая 2 члена разложения подынтегральной функции. Оценить погрешность приближения.

4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам:

0 < x < π

Вариант № 3

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Вычислить с точностью до 0.001

4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам.

T = 2π

Вариант № 4

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

, найти интервал сходимости ряда к .

4. Разложить в ряд Фурье функцию:

по синусам.

Вариант № 5

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Вычислить с точностью до 0,001

4. Разложить в ряд Фурье функцию:

по синусам.

Вариант № 6

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

, найти интервал сходимости ряда к .

4. Разложить в ряд Фурье

на отрезке 0 < x < π по косинусам.

Вариант № 7

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (x +3) функцию

, найти интервал сходимости ряда к .

4. Представить интегралом Фурье функцию:

Вариант № 8

1. Исследовать ряд на сходимость.

2. Найти область сходимости степенного ряда.

3.Разложить в ряд Тейлора по степеням “ x “ функцию

, найти интервал сходимости ряда к .

4.Представить интегралом Фурье функцию:

Вариант № 9

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить в ряд Тейлора по степени Х функцию

найти интервал сходимость к f(x)

4. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам

Вариант №10

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Вычислить с точностью до 0.001

4. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке (0; 1) по косинусам

Вариант № 11

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х-2) функцию

найти интервал сходимость к f(x)

4. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (0;2π)

Вариант № 12

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням X, определить интервал сходимости

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с , если:

Вариант №13

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х+1) функцию

найти интервал сходимость к f(x)

4. Представить функцию рядом Фурье на интервале (-π, π)

Вариант №14

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Вычислить с точностью до 0.001

4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (0, π) по синусам

Вариант №15

1. Исследовать ряд на сходимость числовой ряд

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию

найти интервал сходимости ряда к f(x).

4. Представить рядом Фурье периодическую функцию с Т=π

Вариант №16

1. Исследовать числовой ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию

найти интервал сходимость к f(x).

4. Представить рядом Фурье функцию на интервале (-3, 3).

Вариант № 17

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости степенного ряда:

3. Вычислить с точностью до 0,001:

4. Представить рядом Фурье функцию: на интервале (-1<x< 1)

Вариант № 18

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости степенного ряда:

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию:

, найти интервал сходимости ряда к

4. Разложить по косинусам на интервале функцию:

Вариант №19

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости степенного ряда:

3. Вычислить с точностью до 0,001:

4. Разложить в ряд Фурье функцию , 0<x<2 с периодом T=2

Вариант №20

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости степенного ряда:

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (x+1) функцию: , найти интервал сходимости ряда к .

4. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию f(x) по синусам:

Вариант №21

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости функционального ряда:

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

4. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию:

по косинусам.

Вариант №22

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости функционального ряда:

3. Вычислить с точностью до 0,001:

4. Представить функцию интегралом Фурье:

Вариант №23

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости функционального ряда:

3. Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию:

, найти интервал сходимости ряда к .

4. Представить функцию интегралом Фурье:

Вариант №24

1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

2. Найти область сходимости функционального ряда:

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

4. Представить функцию интегралом Фурье:

Гиперболические функции

Вопросы к экзамену.

1.Знакопостоянные числовые ряды. Основные определения, свойства сходящихся рядов.

2.Критерий Коши сходимости числовых рядов.

3.Необходимый признак сходимости числовых рядов.

4.Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов.

5.Знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.

6.Признак Лейбница.

7.Функциональные ряды. Определение, область сходимости, равномерная сходимость.

8.Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

9.Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости.

10.Степенные ряды, интервал сходимости.

11.Ряд Тейлора, его единственность. Основные разложения.

12.Применение степенных рядов к приближенным вычислениям, к вычислению определенных интегралов.

13.Свойства периодических функций.

14.Ортогональность системы тригонометрических функций на отрезке [-π, π].

15.Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом Т=2π. 16.Формулировка условий разложимости функций в ряды Фурье.

17.Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

18.Ряды Фурье для функций с периодом Т=2l. Случай четных и нечетных функций.

19.Ряды Фурье для функций, заданных на отрезке. Разложение в ряд по косинусу и синусу.

20.Ряд Фурье в комплексной форме.

21.Интеграл Фурье. Условия представимости функции интегралом Фурье.

22.Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.

23.Интеграл Фурье в комплексной форме.

Литература.

1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика в 3-х томах. Учебник для вузов под ред. В.А. Садовничева. Т.3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2004.

2. Сборник задач по математике для ВТУЗов под ред. Ефимого А.В. и Демидовича Б.П., М.: Наука, 1986.

3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982.

4. Курс высшей математики – Игнатьева А.В., Смирнов В.Ф., Краснощекова Т.И., изд. «Высшая школа», 1968.