Комплексная форма ряда Фурье периодической функции периода

Пусть - периодическая функция периода , удовлетворяющая условиям Дирихле. Тогда подстановка приводит к функции , разложимой в ряд Фурье с периодом 2 . Тогда для такой функции имеем:

, где

Сделаем обратный переход к аргументу с помощью подстановки . Получим комплексную форму ряда Фурье для периодической функции с периодом T= 2l.

При этом

,

5. Интеграл Фурье.

Пусть периодическая функция f(x) (период T=2l) на каждом отрезке [-l,l] (l – любое число) кусочно-гладкая или кусочно-монотонная, и, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция на всей числовой оси, то есть несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования от модуля функции - сходится.

При этих условиях функцию f(x) на каждом интервале (-l,l) можно разложить в ряд Фурье:

|x|<1

В точках х разрыва функции f(x) сумма ряда равна

n= 0, 1, 2, …,

n= 1, 2, …,

Для того, чтобы отличать х от переменной интегрирования, переменную интегрирования обозначили через t. Перейдем к пределу при . Для этого сначала преобразуем ряд, записанный в правой части равенства, подставляя в него вместо a_n и b_n их выражения через интегралы в соответствии с вышеприведенными формулами. В результате получим:

Или:

(5.1)

Равенство (5.1) имеет место для всех значений х, удовлетворяющих условию |x|<l, где l – любое фиксированное число. Пусть х – любая фиксированная точка, перейдем к пределу при .

Прежде всего при .

Так как интеграл сходится, то его частные интегралы ограничены, то есть при любом l.

Тогда или, что то же, при l→∞.

Таким образом, переходя в равенстве (5.1) к пределу при , получим:

(5.2)

Пусть (общий член последовательности { }), тогда и, следовательно, . При , и равенство (5.2) можно записать в следующем виде:

(5.3)

Интегралы, входящие под знак суммы, являются значениями функции , в точках последовательности { } при фиксированных х. Вследствие этого, сумма в правой части равенства внешне, в какой-то степени, напоминает интегральную сумму по переменной u, составленную для промежутка . Можно доказать, что предел суммы, записанный в правой части, равен интегралу:

Тогда в любой точке непрерывности функции будет выполняться равенство:

(5.4)

Преобразуем теперь правую часть равенства, используя формулу для косинуса разности двух углов:

Или, иначе:

, (5.5)

причем коэффициенты a(u) и b(u) соответственно равны:

(5.6)

Пусть – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке. Интегралом Фурье для такой функции называется интеграл:

где a(u) и b(u) определяются равенствами (5.6), при этом записывают:

Если в каждой точке непрерывности функции интеграл Фурье этой функции равен значению функции , то знак соответствия заменяется знаком равенства и говорят, что функция представима интегралом Фурье. Двойным интегралом Фурье абсолютно интегрируемой на промежутке функции , непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке, называется интеграл:

Из приведенных выше рассуждений вытекает следующая теорема: если - абсолютно интегрируемая на промежутке функция, кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на каждом отрезке [-l,l], то для этой функции справедливы равенства (5.5) и (5.6) или, что тоже, в этом случае функция представима соответственно интегралом Фурье или двойным интегралом Фурье.