3. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Используя разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена, можно приближенно вычислять, например, значения функций и приближенные значения определенных интегралов.

Напомним, что рядом Тейлора для функции , если функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечные производные, является степенной ряд:

Чтобы функция была суммой этого ряда для значений x из некоторого промежутка, необходимо и достаточно, чтобы , где остаточный член ряда.

Если в ряде Тейлора положить , то получим ряд Маклорена:

Обычно в задачах на приближенные вычисления используются ряды Маклорена для следующих функций:

, область сходимости этого степенного ряда к своей функции - (-∞; +∞).

Области сходимости последних двух рядов также (-∞; +∞).

Можно показать, что область сходимости последних двух рядов .

При , из последней формулы получим:

Если же x заменить на (-x) то получим формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пример: вычислить приближенно , взяв три члена разложения; оценить погрешность вычислений.

Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции , положив .

Погрешность вычислений:

Если в задаче указано число членов разложения, то погрешностью вычислений будет первый отбрасываемый член разложения, в данном случае, - четвертый.

Пример: вычислить с точностью до .

Воспользуемся разложением функции в ряд, предварительно переведя один градус в радианную меру

Оценим каждое слагаемое, начиная со второго. Как только слагаемое будет меньше заданной точности, оно в приближенную сумму не будет входить.

следовательно,

Пример: вычислить приближенно определенный интеграл с точностью .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

В нашем случае , вместо x подставляя , получим:

Вместо заданной подынтегральной функции будем интегрировать в заданных пределах степенной ряд. Отбрасывая третий и последующие члены ряда, после подстановки пределов интегрирования, получим:

Т.к. после интегрирования третий член ряда равен , то погрешность вычислений равна .

Пример: вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001

Воспользуемся разложением

преобразовали подынтегральную функцию, тогда:

Т.е. приближенно данный определенный интеграл равен 0,19. Точность вычислений .

4. Ряды Фурье.

Функция , определённая при всех значениях x называется периодической, если существует такое число T (T≠ 0), что при любом значении x выполняется равенство f(x+T)=f(x). Число T в этом случае является периодом функции.

Свойства периодических функций:

1. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет период

В самом деле, для любого аргумента х:

(умножение аргумента на число означает сжатие или растяжение графика этой функции вдоль оси ОХ)

Например, функция имеет период , периодом функции является

3) Если f(x) периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т (при этом предполагается, что эти интегралы существуют).

4.1. Ряд Фурье для функции с периодом T= .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

, где , , , , , … , , , … - действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода (т.к. - имеет любой

период, а период ( ) равен , а значит, и ). Каждое слагаемое ( ), при n=1,2,3… является аналитическим выражением простого гармонического колебания , где A - амплитуда,

- начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода , то он сходится на всей числовой оси и его сумма является периодической функцией периода .

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна . Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:

(4.1)

А так же воспользуемся следующими свойствами.

1) Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке ряда, составленного из непрерывных функций, сама является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке тригонометрического ряда – непрерывная функция на всей числовой оси.

2) Равномерная сходимость ряда на отрезке не нарушится, если все члены ряда умножить на функцию , непрерывную на этом отрезке.

В частности, равномерная сходимость на отрезке данного тригонометрического ряда не нарушится, если все члены ряда умножить на или на .

По условию

(4.2)

В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (4.2) и учитывая вышеприведенные равенства (4.1) (ортогональность тригонометрических функций), получим:

Следовательно, коэффициент

.

Умножая равенство (4.2) на , интегрируя это равенство в пределах от до и, учитывая вышеприведенные выражения (4.1), получим:

Следовательно, коэффициент

.

Аналогично, умножая равенство (4.2) на и интегрируя его в пределах от до , с учетом равенств (4.1) имеем:

, следовательно, коэффициент

.

Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда Фурье:

(4.3)

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Напомним, что точку xo разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f(x) в окрестности точки.

-предел справа,

-предел слева.

Теорема (Дирихле). Если функция f(x) имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и, кроме того, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях x. Причём в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва функции f(x) его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье для функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Пример: разложить в ряд Фурье функцию

у довлетворяющую условию .

Рис.4.1.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:

В соответствии с формулами (4.3) , можно получить следующие значения коэффициентов ряда Фурье:

При вычислении коэффициентов ряда Фурье использовалась формула «интегрирования по частям».

И, следовательно,

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T= .

Используем следующее свойство интеграла по симметричному относительно x=0 промежутку:

если f(x) – нечётная функция,

если f(x) – чётная функция.

Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций – чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную функцию – нечётная функция. Пусть теперь f(x) – чётная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя вышеуказанное свойство интегралов, получим:

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции – косинусы и записывается так:

(4.4)

при этом

(4.5)

а коэффициенты bn = 0.

Рассуждая аналогично, получаем, что если f(x) – нечётная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то, следовательно, ряд Фурье для функции нечётной содержит только нечётные функции – синусы и записывается следующим образом:

(4.6)

при этом an =0 при n= 0, 1,…

(4.7)

Пример: разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Рис. 4.2.

Т ак как заданная нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то

при этом

или, что то же,

И ряд Фурье для данной функции f(x) можно записать так:

4.2. Ряды Фурье для функций любого периода T=2l.

П усть f(x) – периодическая функция любого периода T=2l (l-полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l]. Полагая x=at, получим функцию f(at) аргумента t, период которой равен . Подберём а так, чтобы период функции f(at) был равен , т.е.

, откуда

Тогда подстановка (сжатие или растяжение по оси ОХ) приводит к

функции периода . Это функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, т.к. она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке .

Так как , а пределам интегрирования по t соответствуют пределы интегрирования по x , то ряд Фурье функции f(x) периода T=2l запишется в виде:

, (4.8)

при этом

(4.9)

Ряд Фурье для чётной или нечётной функции любого периода T=2l.

Пусть f(x) – чётная, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая функция на отрезке [-l, l], тогда её можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье. По свойству интеграла по симметричному относительно x=0 интервалу получим

(4.10)

Таким образом, ряд Фурье чётной функции f(x) с периодом T=2l запишется в виде:

(4.11)

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (4.10).

Е сли f(x) – нечётная функция, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [-l, l ], то

(4.12)

Ряд Фурье для нечётной периодической функции с периодом T=2l имеет вид:

(4.13)

При этом коэффициенты ряда определяются формулами (4.12). Следует заметить, что все сделанные раньше замечания относительно разложения в ряд Фурье функции f(x), заданной на отрезке [интервале ], остаются справедливыми и для функции f(x), заданной на отрезке [интервале (-l, l)]. Аналогично всё сказанное о разложении функции на отрезке [интервале ], переносится на отрезок [интервале ].

Пример: разложить функцию f(x)=x, -1<x<1, периода T=2 в ряд Фурье (рис 4.3).

Рис 4.3.

Решение. Функция f(x) – нечётная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании формул (4.12) и (4.13) имеем:

(при вычислении интеграла использовали формулу «интегрирования по частям»).