Знакопостоянные числовые ряды.
Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то общий член числового ряда стремиться к нулю при n→∞:
(1.2)
Для числовых рядов с
неотрицательными членами ряда обычно,
в зависимости от того выражения, которым
задан общий член ряда, используются
следующие достаточные
признаки
сходимости: признак сравнения, признак
Даламбера, признак Коши, интегральный
признак Коши.
А) Признак сравнения.
Если даны два числовых ряда с неотрицательными членами ряда:
,
где 
(1.3)
и 
где 
,
(1.4)
то если 
при любом n,
то из сходимости ряда (1.4), следует
сходимость ряда (1.3), а из расходимости
ряда (1.3) следует расходимость ряда
(1.4).
На практике чаще
используют следствие
из признака сходимости:
если
то
в смысле сходимости и расходимости ряды
(1.3) и (1.4) ведут себя одинаково. В качестве
ряда, с которым сравнивают исследуемый,
обычно выбирают ряд с общим членом ряда
,
который при
- сходится, при 
- расходится.
Пример:
исследовать числовой ряд на сходимость.
Общий член ряда
,
в качестве ряда, с которым сравниваем
исследуемый ряд, возьмем расходящийся
ряд с общим членом ряда 
(
=1).
(по третьему замечательному пределу), следовательно, исходный ряд также расходится.
Пример: исследовать числовой ряд на сходимость.
Общий член ряда
,
в качестве ряда, с которым сравниваем,
возьмем сходящийся ряд 
(по 3-ему замечательному
пределу), следовательно, исходный ряд
сходится. Пример:
исследовать на сходимость числовой ряд
В качестве ряда,
с которым будем сравнивать данный
числовой ряд, предлагается взять ряд с
общим членом ряда 
Степень
выбираем как разность между старшей
степенью знаменателя и старшей степенью
числителя исследуемого числового ряда,
т.е. в данном примере
=4-2=2.
(по 3-му замечательному приделу). Т.к. сравнивали со сходящимся рядом, то, следовательно, исходный ряд также сходится.
Б) Признак
Даламбера.
(1.5)
то если 
ряд
сходится; при k
>1 –
ряд расходится; если 
требуются дополнительные исследования.
Пример:
исследовать числовой ряд на сходимость,
если 
.
Запишем член ряда с номером (n+1):
,
найдем предел
отношения членов ряда
следовательно, заданный ряд сходится (предел отношения многочлена второй степени находящегося в числителе, к многочлену второй степени находящегося в знаменателе, по 3-му замечательному пределу, равен 1.)
Пример:
исследовать знакопостоянный числовой
ряд.
Учтем,
что n!=1
произведение натуральных чисел от 1 до
n.
Для нахождения
предела, воспользуемся 2-ым замечательным
пределом
т.к. e
=2.87…
,
то исходный ряд расходится (показатель
степени у числа «е» по 3-му замечательному
пределу равен «-1»).
Пример:
исследовать на сходимость числовой
ряд
Запишем член числового ряда с номером (n+1):
Следовательно, по признаку Даламбера (1.5) исходный ряд сходится.
В) Признак Kоши.
Если члены числового
ряда положительны и, кроме того
(1.6)
то если 
-
ряд сходится; 
-
ряд расходится; если 
-
требуются дополнительные исследования.
(по 3-ему замечательному
пределу),
следовательно,
ряд сходится.
Пример:
исследовать ряд на сходимость, если
общий член ряда
Тогда по
критерию Коши:
(использовали 2-ой замечательный предел, смотрите предыдущие примеры), следовательно, заданный ряд сходится.
Пример:
исследовать на сходимость числовой
ряд
Общий член ряда
можем записать так
т.е. ряд сходится
(при 
Г) Интегральный признак сходимости Коши.
Этот признак
основан на сравнении числовых рядов с
несобственными интегралами.
монотонно
убывающая и положительная для 
1,
причем
.
Тогда, если сходится
несобственный интеграл
т.е. он имеет конечное значение, то сходится и числовой ряд; если же несобственный интеграл расходится, то расходится и числовой ряд.
Пример:
исследовать ряд
Рассмотрим несобственный интеграл:
Вычислим
неопределенный интеграл:
то есть и несобственный интеграл, и ряд сходятся.
Пример: исследовать числовой ряд на сходимость
Рассмотрим
несобственный интеграл:
Вычислим
неопределенный интеграл, сделав
соответствующую замену переменной
Тогда,
следовательно,
несобственный интеграл расходится и
соответственно исследуемый числовой
ряд также расходится.