1 Составление математической модели

Для использования стандартных вычислительных алгоритмов ЛП требуется математическая запись модели. Таким образом, необходимо умение переводить словесное описание задачи на язык математических символов.

Составление математической модели начинают с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Следует иметь в виду, что иной раз от удачного выбора этих переменных зависит простота модели и, следовательно, удобство дальнейшего ее анализа.

После выбора переменных необходимо составить ограничения по тексту задачи, которым эти переменные должны удовлетворять. При этом нужно следить, чтобы в модель были включены все ограничительные условия и в то же время не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем требуется условиями задачи, форме.

Наконец, составляется целевая функция, которая в математической форме отражает критерий выбора лучшего варианта.

После составления математической модели необходимо рассмотреть

возможные пути ее упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод для решения задачи.

Этап I - Выбор переменных, необходимых для математической модели задачи.

Введем следующие переменные переменные:

x_i– количество единиц сырья каждого вида,i = ,

y_j– количество единиц продукции каждого вида,j = ,

p_j– цена единицы продукции каждого вида,j = ,

q_ij– количество сырьяi-го вида, затрачиваемого под единицу продукцииj-го вида,i = ,j =

Для упрощения задачи будем задавать x_i.

Таким образом, решением задачи будет являться вектор y = (y₁, y₂, …, y_n), который представляет собой способ распределения количества продукции каждого вида.

Этап II – Составление ограничений.

Составим ограничения, которым должны удовлетворять переменные:

Суммарное количество сырья должно быть равно фиксированному значению X:

(1.1)

Далее необходимо учесть тот факт, что в матрицеqу нас задается потенциальное распределение затрат на сырье по видам продукции. Для того, чтобы оценить реальное распределение, необходимо количество каждого вида сырья, затрачиваемого на единицу каждого вида продукции, умножить на общее количество единиц продукции каждого вида. Тогда мы получим реальные данные – то есть сколько всего единиц сырья каждого вида потратится на производство общего числа продукции каждого вида. Причем распределение единиц сырья по всем видам продукции не должно превышать фиксированного количества этого сырья, т.е :

(1.2)

Также используем в качестве ограничения условие неотрицательности:

(1.3)

Таким образом, из (1.4) очевидно, что на переменную y_i накладывается условие неотрицательности, она может быть и равна нулю, поскольку не исключена ситуация, при которой производство соответствующего вида продукции является невыгодным..

Этап III - Составление целевой функции.

Составим целевую функцию, которая в математической форме, отражает критерий эффективности выбора лучшего варианта.

Так как необходимо найти план выпуска изделий, при котором суммарный доход от продажи продукта будет максимален, то целевую функцию можно представить в виде произведения количества выпускаемой продукции каждого вида на цену реализации соответствующего вида продукции:

(1.4)

Итак, математическая модель задачи будет иметь вид:

(1.5)

При решении данной задачи изначальна будет известно суммарное количество сырья X и распределение этого количества по заданному числу видовm. В результате получим векторX, для которого будет найден соответствующий план выпуска изделий.

Если же нам потребуется определить наиболее оптимальное распределение и ресурсов, и продукции, переберем различные варианты значений вектора X, найдя для каждого варианта соответствующее распределение продукции и выбрав из всех вариантов тот, у которого значение целевой функции будет максимальным.

То есть в данном случае производится решении задачи линейного программирования с использованием метода перебора.