тпр
.docОмский государственный технический университет
Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Математическое программирование»
Пояснительная записка
Руководитель проекта:
Зыкина А.В.
Разработал студент гр. Ас–312
Долуман В.А.
Омск - 2005
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЕ
8. Распределить машин по мастерским
Фирма имеет три авторемонтные мастерские, которые обслуживают три автотранспортных депо. Затраты на техобслуживание и ремонт в различных мастерских различны. Автопарк в каждом депо ограничен.
Распределить машины трех депо по мастерским на техобслуживание так, чтобы суммарные затраты фирмы были минимальными.
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Авторемонтные мастерские – i
Авторемонтные депо – j
Aij – затраты j мастерской на техобслуживание i депо
Xij - i машина обслуживается в j мастерской
Bi – количество машин в i депо
L=aij*xij -> min
x11+x21+x31 <= b1
x12+x22+x32 <= b2
x13+x23+x33 < = b3
Ограничения.
–
i-я
машина поедет только в одно депо;
-
i-я
машина находится хотя бы в одном депо
, j
машина в i
мастерской
, иначе
Решаем полученную целевую функцию сначала симплекс методом, затем производим решение методом Гомори, так как нам нужно получить целочисленное решение.
Депо
1 Маст. 1
Депо
2 Маст. 2
Депо
3 Маст.3
2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум
Ш0: Приводим задачу ЛП к специальной форме.
Ш1: Составляем симплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:
|
|
b |
|
… |
|
… |
|
|
L |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
. |
. |
… |
||||
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
. |
. |
… |
||||
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Этой таблице
соответствует допустимое базисное
решение
задачи. Значение целевой функции на
этом решении
Ш2:
Проверка на оптимальность. Если среди
элементов индексной строки симплекс –
таблицы
нет ни одного положительного элемента
то
,
оптимальное решение задачи ЛП найдено:
.
Алгоритм завершает работу.
Ш3:
Проверка на неразрешимость. Если среди
есть положительный элемент
,
а в соответствующем столбце
нет ни одного положительного элемента
,
то целевая функция L
является неограниченной снизу на
допустимом множестве. В этом случае
оптимального решения не существует.
Алгоритм завершает работу.
Ш4:
Выбор ведущего столбца q.
Среди элементов
выбираем максимальный положительный
элемент
.Этот
столбец объявляем ведущим.
Ш5:
Выбор ведущей строки
p.
Среди положительных элементов столбца
находим элемент
,
для которого выполняется равенство:
.
Строку p
объявляем ведущей. Элемент
объявляем ведущим.
Ш6: Преобразование симплексной таблицы. Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:
а) вместо базисной
переменной
записываем
,
вместо небазисной переменной
записываем
;
б) ведущий элемент
заменяем на обратную величину
;
в) все элементы
ведущего столбца (кроме
)
умножаем на
;
г) все элементы
ведущей строки (кроме
)
умножаем на
;
д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».
Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:
первый - соответствующий элемент ведущего столбца;
второй - соответствующий элемент ведущей строки;
третий - обратная
величина ведущего элемента
.
Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».
Ш7: Переход к следующей итерации (на Ш2).
2.2 Алгоритм метода Гомори
Ш1: Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи без учета условия целочисленности. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В случае алгоритм завершает работу.
Ш2: Пусть оптимальная таблица имеет вид:
|
|
b |
|
… |
|
|
L |
|
|
… |
|
|
|
. |
|
… |
|
|
. |
. |
… |
||
|
|
|
|
… |
|
Если элементы
–
целые, то оптимальное решение
является целочисленным. В этом случае
вычисления заканчиваем. Иначе, переходим
к следующему шагу.
Ш3:
Среди дробных компонент
таблицы выбираем элемент
с максимальной дробной частью
и по строке i
составляем дополнительное ограничение:
Здесь
- целая часть числа
(наибольшее целое число, не превышающее
число
).
Ш4: Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение. Переходим к Ш2.
-
Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление в таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами (поскольку соответствующее уравнение неразрешимо в целых числах).
-
На Ш4 двойственный симплекс-метод применяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная симплексная таблица (возможно потребуется несколько итераций).
Если на Ш4
в базис вводится переменная дополнительного
ограничения
,
то эта строка вычеркивается из симплексной
таблицы (соответствующее ограничение
является избыточным).
2.3 Алгоритм двойственного симплекс-метода
Ш0: Начинаем с симплексной таблицы
|
|
b |
|
… |
|
|
L |
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
. |
. |
… |
||
|
|
|
|
… |
|
где
.
Ш1:
Проверка на оптимальность. Если
,
то решение
- оптимальное.
Ш2:
Выбор ведущей строки. Выбираем среди
номеров i,
для которых
,
номер k
с максимальным по модулю значением:
.
Строка k
объявляется ведущей.
Ш3:
Проверка на неразрешимость. Если в
строке
нет отрицательных элементов, то
двойственная целевая функция неограничена
и, следовательно, прямая задача не имеет
допустимых решений. Процесс решения
завершается.
Ш4:
Выбор ведущего столбца s.
Выбираем среди отрицательных элементов
строки
элемент с номером s,
для которого выполняется равенство :
.
Столбец s
объявляется ведущим, а элемент
- ведущим элементом.
Ш5: Проводим стандартное преобразование симплексной таблицы (Ш6 из прямого симплекс-метода).
3 ОПИСАНИЕ ИНТЕРФЕЙСА ПРОГРАММЫ
Главное окно программы изображено на рисунке 1
Рисунок 1
4 АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
Проведем анализ на чувствительность задачи линейного программирования: