5.Зближення меридіанів на пл-ні проекції г-к

Із теорії геод. к-т відомо що меридіани є криві на пов. еліпсоїда які проходять через відповідну точку на пов. ел. і полюси Землі. Таким чином через довільну точку на пов еліпсоїда може бути проведено мер-н і всі мер-ни сходяться в полюсах Землі. В проекції Г-Кр тільки осьовий мер-н зони відображається прямою лінією, інші мер-ни зони є кривими. Оскільки умова того, що меридіани повинні схолиться в полюсах Землі зберігається у картогр. проекціях, то меридіан проведений через т.А в проекції не буде паралельний осьовому меридіану зони. Зближенням мер-нів в точці на площині в проекції Г-К наз. кут утворений зображенням мер-на заданої точки з лінією паралельною осьовому мер-ну в даній точці. Для точок розміщених на схід від ос мер-на, зближення низив. східним і має знак +,а на захід-західним і має знак -. Знаючи, що меридіани і паралелі в ортогональній системі перетинаються під прямим кутом, то: tgγ=dx\dy=(dx\dl)/(dy\dl). (1) З теорії проекції Г-К знаємо ф-ли для перевичислення геодез. коорд. в плоскі прямокутні:

х=Х+l²\2ρ²*NcosBsinB+…

y= l\ρ*NcosB+…

Продиференціюємо по l:

dx\dl=l*N*cosB*sinB

dy\dl=N*cosB

Підставляючи ці зн-ня в (1), знайдемо: tgγ=l*sinB Оскільки l у формулі не може бути як завгодно великим, то зближення меридіанів є величиною малою і тому: γ=l*sinB.(2) Ці ф-ли дозволяють обчислювати зближення мер-нів за відомими зн-нями геодез. коорд. Якщо при визначенні використовувалась більша к-сть членів, то можна отримати точнішу ф-лу: t=tg B

Аналіз ф-л, отриманих для обчислення зближення мер-нів показує, що вел-на зближ залежить як від розміщення точки в границях зони, так і від положення точки на еліпсоїді.Зближ мер-нів відсутнє на екваторі і на ос мер-ні зони. Зі збільшенням широти при переміщенні точки по одному і тому ж мер-ні кут зближ зростає.Також його вел-на буде збільшуватись при переміщенні точки до країв зони.Отримаємо ф-ли для обчислення зближ мер-нів за зон к-ми на пл-ні в проекції Г-К. На основі (2): В ф-лу (2) входить sinB, яка відрізняється від широти В₁. Для визначення l представимо в ряд Тейлора: sinB= sin(B₁+(B-B₁)). sinB=sinB₁+(B-B₁)cosB₁+… Тоді:

sinB=sinB₁+(1+(B-B₁)*ctgB₁).

Знайдемо В-В₁ у відповідності до ф-ли (2):

В-В₁= - у²*tg B₁ / 2(M₁N₁)². MN=R

Враховуючи це зн-ня отримаємо для sinB:

sinB=sinB₁(1- y²\2R₁² )

Отримаєм:

Ця формула встановлює залежність між зближенням мер-нів в тій чи іншій точці на площині в проекції Г-К і відповідними зональними коорд. цієї точки.

6. Масштаб зображень в пр-ції г-к

Відомо що масштабом довжин в тій чи іншій пр-ції назив. відношення відрізка в проекції до відповідн. відрізка на вих. поверхні. Якщо це відношення дорівнює 1, то лінійні спотворення в проекціях відсутні. m=dS/ds. В с-мі зональних к-т X, Y відрізок dS можна визначити через елементарні приростки: dS²=dх²+dу². ds²=(MdB)²+(NcosB)²

Підставимо ці вирази у вихідну формулу:

Винесемо в чисельнику за дужки dy², у знаменнику (Ncos dl)²

З ∆ Q₁´Q₀´Q₂´ на площині знайдемо:

на вих. пов.

Підставимо ці вирази в останню ф-лу для m² і перетворивши ф-лу отримаєм

Між дирекцій ним кутом і азимутом існує залежність

Найбільша зміна м-бів довжин відбувається у пр.-ції Г-К по паралелях для яких А=90⁰. Отже отримаєм

З теорії пр.-ції Г-К відома

ф-ла:

Продиференціюєм по l

Відомо, що зближення меридіанів у пр.-ції Г-К є величиною малою і тому secγ представимо розкладом в ряд

За ф-лою

Підставимо у ф-лу

Аналіз ф-ли дозволяє встановити закономірність зміни м-бів довжин на площині в пр.-ції Г-К. Знаючи, що l характеризує різницю довгот точки дослідження і осьового меридіана зони, визначаєм, що на осьовому меридіані м-б довжин буде рівний 1 і це підтверджує одну з властивостей пр.-ції Г-К, що на осьовому меридіані зони лінійні спотворення довжин відсутні.

Для розвязку геод. задач часто використовують карти. При роботі з картами, положення точки на карті визначають не геод. координатами, а зональними к-тами X,Y. Тому отр. ф-лу для визначення м-бу довжин в тій чи іншій точці за допомогою зональних к-т.

З теорії Г-К відомо, що

Де Вх – геодезична широта, що розрахована за к-тою Х точки

Щоб перетворити останню ф-лу дляm слід у ній cosB виразити широтою Вх

Розкладемо в ряд і, врахувавши,що

і піднявши до квадрау

запишемо:

Підставимо в останю ф-лу m вираз для l і для cos²B:

Перетворимо отриманий вираз і враховуючи,що

Ця ф-ла дозволяє визначити м-б довжин в пр.-ції Г-К

З аналізу цієї ф-ли знаходимо що м-б довжин зростає від осьового меридіану до країв зони. Але оскільки зона строго ограничена розмірами по довготі (3°) , то к-ти У не можуть перевищувати 300 км, що ограничує і величину лінійних спотворень на краях зони.

В більшості випадків інж. Практики, лінійними спотвореннями на краях 6° зон можна нехтувати. Вони сягають порядку 0,14% від відповідних довжин або 1/5000 – 1/6000.

Якщо нехтувати такими похибками не дозволяється, то використовують проектування в 3° зонах, що зменшує величину лінійних похибок приблизно в 4 рази( на краях зони)