1.1 Ортогональность полиномов Лежандра

Как мы уже знаем – два полинома ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. То есть, доказательство ортогональности двух полиномов сводится к доказательству равенства:

/2/

Для этого рассмотрим

(1.5)

Пусть т<п /1/. Очевидно, что

при k < n (1.6)

Учитывая этот вывод, применим к интегралу, стоящему в правой части равенства (1.6), формулу интегрирования по частям

После n-кратного интегрирования по частям формулы (1.5) в силу соотношения (1.6) будем иметь

(1.7)

Но так как т < n, то, очевидно, и, следовательно,

Ортогональность доказана.

2.2 Нормирование полиномов Лежандра

Нормируем систему полиномов Лежандра. Для этого найдем норму, вычислив интеграл /1/:

(1.8)

Воспользуемся формулой (1.1):

(1.9)

Применим формулу интегрирования по частям последовательно n-раз, получим:

(1.10)

Теперь рассмотрим:

Применим формулу бинома Ньютона:

Учитывая это, упростим интеграл (1.10), и применим формулу интегрирования по частям:

(1.11)

Последний интеграл вычисляется при помощи n-кратного интегрирования по частям:

(1.12)

Подставляя полученный результат (1.12) в формулу (1.11), будем иметь

(1.13)

Вычислив интеграл (1.11), подставим результат (1.13) в формулу (1.8), получим

(1.14)

Отсюда, ортонормированная система полиномов Лежандра имеет вид:

Таким образом, полиномы Лежандра на отрезке [–1, 1] образуют ортонормированную систему полиномов.

Из теории обобщенных рядов Фурье следует, что коэффициенты полинома, аппроксимирующего данную функцию, следует брать равными коэффициентам Фурье /3/.

Коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе полиномов Лежандра:

С учетом формулы (1.14), получаем окончательную формулу для вычисления коэффициентов Фурье /1/:

2. Полиномы Чебышева

Теперь рассмотрим полиномы Чебышева /1/, которые известны тем, что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.

Полиномы Чебышева Т_n(x) определяются формулами

(2.1)

В частности имеем:

(2.2)

Аналогично полиномам Лежандра, полиномы Чебышева также имеют несколько способов задания. Рассмотрим наиболее применимые из них. Обычно полиномы Чебышева рассматриваются на отрезке [–1, 1]. Поэтому можно положить x=cos t, т. е. t=arсcos x, где t – новая переменная . Тогда и формула (1) преобразуется к виду

Так как (cos t ± i sin t)ⁿ = cos nt ± i sin nt, то имеем

(2.3)

или (2.4)

Заметим, что формулы (2.3) и (2.4) неверны при n = 0.

Из формулы (2.3) легко получаются рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева при больших п.

Преобразуем формулу (2.3) к виду:

принимая во внимание то, что

получаем:

(2.5)

отсюда:

(2.6)

Таким образом, полиномы Чебышева задаются рекуррентной формулой (2.6).

Первые 12 полиномов Чебышева Т_n(x) даны в приложении B.

На рисунке 2.1 приведены графики полиномов Чебышева для n = 0, 1, 2, 3.

В теории приближении функций имеет место довольно важная теорема /1/:

Теорема 2.1. Полином Чебышева степени m (m > 1) наименее отклоняется от нуля на отрезке [– 1, 1] по сравнению с другим полиномом степени m и со старшим коэффициентам, равным единице.

– отклонение

Рисунок 2.1 – Графики первых четырех полиномов Чебышева