Вопрос 2.

В зависимости от решаемой задачи необходимо генерировать случайные числа с требуемым законом распределения. Это обычно выполняется в 2 этапа:

• Формирование случайного числа Ui, равномерно распределенного на отрезке [0,1]

• Переход от Ui к случайному числу Xi, имеющему требуемый закон распределения FX(x).

В настоящее время наиболее популярными являются датчики случайных чисел, использующие следующий алгоритм:

m – модуль; m>0

a – множитель; 0<a<m

с – приращение; 0<c<m

X0 – начальное значение; 0<X0<m, полученную последовательность называют линейной конгруэнтной.

Числа a, c, m, (все целые числа) X0 желательно выбирать так, чтобы

• период был как можно длиннее,

• датчик проходил тесты на случайность.

Наряду с линейными конгруэнтными генераторами, существует много альтернативных типов. Большинство из них разработаны с целью получения более длинных периодов или статистических свойств.

Многократные рекурсивные генераторы (МРГ):

Перед применением генератора следует убедиться в его качестве с помощью тестирования. Существуют тесты двух типов: эмпирические и теоретические.

Первое требование, предъявляемое к последовательности, полученной с помощью генератора, состоит в том, что ее члены - числа, равномерно распределенные на отрезке [0,1].

Для проверки гипотезы о равномерности наиболее часто используют:

• Критерий Колмогорова – Смирнова

• К ритерий Хи-квадрат. Вычисляют значение c2набл. Если c2набл. >c2кр.(k) - гипотеза о равномерном распределении отвергается.

• К эмпирическим тестам также относится критерий сериальной корреляции. Вычисляются коэффициенты корреляции между последовательностями

Ut, Ut+1, Ut+2…

Ut+q, Ut+q+1, Ut+q+2…

Проверяется гипотеза, что коэффициенты корреляции равны 0.

10. Эконометрика (опДдоп)

1. Многомерная регрессионная модель.

y_i=β₀+β₁*x_i1+ β₂*x_i2+… β_k*x_ik+ε_i

β - регрессоры;

ε_i - случайная ошибка, взаимно некоррелированные случайные величины с M(ε_i)=0; D(ε_i)=σ²;

Предположения модели множественной регрессии:

1а. Условное математическое ожидание зависимой переменной является линейной функцией от k переменных X₁,X₂,…,X_k:

M(Y|X)= β₀+β₁*X₁+ β₂*X₂+… β_k*X_k

или

y_i=β₀+β₁*x_i1+ β₂*x_i2+… β_k*x_ik+ε_i

1b. M(ε_i)=0 , так как предполагаем, что

M(y|x_i1, x_i2 ,…, x_ik)=β₀+β₁*x_i1+ β₂*x_i2+… β_k*x_ik

2.Дисперсия слуайной ошибки ε_i постоянна D(ε_i)=σ²;

3.Ошибки не коррелированны cov(ε_i, ε_j)=0 i≠j;

4. x_i1, x_i2, …, x_ik не являются случайными переменными величинами, ни одна из этих переменных не является линейной функцией остальных.

5. (дополнительно) Ошибки ε_i подчиняются нормальному закону:

ε_i ~N[M(ε),D(ε)]=N[0, σ²].

Метод наименьших квадратов.

Матричная запись

Y=X* β+ε

Y- вектор-столбец от 1 до N;

β- вектор-столбец от 0 до k;

X- матрица N строк k+1 столбец;

ε- вектор-столбец от 1 до N;

2. Обобщенная линейная модель с гетероскедастичными остатками. Обобщенный метод наименьших квадратов.