Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве (определение параметров уравнения методом наименьших квадратов)

 

Год	Урожайность, ц/га, уi	t	t2	yi ∙ t
А	1	2	3	4	5
1987	13,7	-7	49	-95,9	13,6
1988	12,1	-6	36	-72,6	13,8
1989	14,0	-5	25	-70,0	13,9
1990	13,2	-4	16	-52,8	14,1
1991	15,6	-3	9	-46,8	14,3
1992	15,4	-2	4	-30,8	14,5
1993	14,0	-1	1	-14,0	14,6
1994	17,6	0	0	0	14,8
1995	15,4	1	1	15,4	15,0
1996	10,9	2	4	21,8	15,1
1997	17,5	3	9	52,5	15,3
1998	15,0	4	16	60,0	15,5
1999	18,5	5	25	92,5	15,7
2000	14,2	6	36	85,2	15,8
2001	14,9	7	49	104,3	16,0
Итого	222,0	0	280	48,8	222,0

 

Для выравнивания данного ряда по прямой используем уравнение   = а₀ + a₁t. Расчет параметров уравнения проведем по упрощенному методу, т.е. ∑t = 0. В нашем примере число исходных данных

 

 

По рассчитанным параметрам запишем уравнение прямой ряда динамики урожайности зерновых культур:

 

 

Данное уравнение показывает, что в течение исследуемого периода урожайность в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц/га в год.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения:

для 1987 г.   = 14,8 + 0,17(-7) = 13,6;

для 1988 г.   = 14,8 + 0,17(-6) = 13,8 (см. графу 5 табл. 10.11).

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпасть с суммой выравненных значений ряда,

 

 

Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от теоретических значений, полученных по определенным аналитическим формулам. В таких случаях следует использовать гармонический анализ.

Целью данного анализа являются выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в остатках ряда.

Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.

Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:

 

y = Asin(αt + β),

 

где t – время;

А – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее и наименьшее отклонения от оси t,

t = π/α – период (длина волны) колебательного движения;

β – начальная фаза колебания.

 

При t = 0 получаем у_t=0 = Asinβ.

 

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

 

 

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов.

Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, из которой вычислим параметры:

 

 

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.

Для изучения специфического периодического явления – сезонности берется n = 12, по числу месяцев в году

Тогда ряд динамики годового производства можно записать так:

 

 

Для определенных в каждом конкретном случае t находят значения синусов и косинусов разных гармоник, которые для удобства располагают в табл. 10.12.

 

Таблица 10.12