Динамика производства готовой продукции на фирме

 

	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Готовая продукция фирмы, тыс. руб.	18	21	26	22	25	28
t	1	2	3	4	5	6

 

Уравнение прямой имеет вид   = a₀ + a₁t Для 1996 г. его уровень составил: а₀ + а₁ ∙ 1 = 18; для 2001 г.: а₀ + 6 ∙ а₁ = 28.

Решая эти уравнения как систему уравнений, получим: 10 = 5а₁; а₁ = 2; а₀ = 28 – 6а₁ = 28 – 12 = 16. Следовательно, приближенная модель динамики готовой продукции выражается уравнением   = 16 + 2t.Здесь параметр а₁ соответствует абсолютному приросту.

Можно предположить и развитие по параболе второго порядка:  = a₀ + a_it + а₂t², но тогда следует взять три точки, например 1996, 1999,2001 гг., т.е. уровни при t = 1, t = 4, t = 6.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

 

 

Решая эту систему, получим: а₀ = 18, а₁ = 0,3 и а₂ = 0,3, а само уравнение применительно к нашему примеру выразится   = 18 + 0,3t + 0,3t², что в приближенной форме определит модель динамики данного явления.

Отрицательным моментом в таком моделировании тренда служат разные числовые выражения параметров в различных точках их определения.

Другим способом определения параметров уравнения является метод средних значений (линейных отклонений), заключающийся в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

В случае выравнивания по прямой линии

 

 

где а₀ и а₁ – параметры,

 

получим:

 

∑(y – a₀ – a₁t) = 0, (10.26)

 

откуда

 

na₀ + a₁∑t = ∑y.

 

Если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, вычислив для каждой части динамического ряда ∑t и ∑y, получим два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения этой системы уравнений находим параметры а₀ и а₁, т.е. начальный уровень и скорость ряда. При этом значение t = 1, 2, 3, 4,..., n.

Разобьем приведенный в табл. 10.8 ряд динамики урожайности зерновых культур на два периода:

1-й-1986-1993 гг.;

2-й-1994-2001 гг.,

тогда: ∑₁y = 107,5; ∑₂y = 124,0; ∑₁t = 45; ∑₂t = 91.

Для определения параметров а₀ и а, решим систему:

 

 

Вычтем из второго уравнения первое. В результате получим:

 

a₁ = 0,359; а₀ = 11,42.

 

Искомое уравнение будет иметь следующий вид:

 

 = 11,42 + 0,359t

 

Метод средних значений прост и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части мы будем получать разные результаты. Метод средних значений, как и выравнивание ряда динамики с помощью среднего прироста и темпа роста, может применяться для ориентировочных расчетов.

Выравнивание ряда динамики с помощью метода конечных разностей. Этот метод заключается в следующем.

Пусть ряд динамики y_t описывается полиномом p-й степени. Для полинома р-й степени вычислим первые разности:

 

∆_t⁽¹⁾ = y_t+1 – y_t;

 

вторые разности:

 

∆_t⁽²⁾ = ∆_t+1⁽¹⁾ – ∆_t⁽¹⁾

 

и т.д.

 

Общая формула р-й разности:

 

 

Любой член у_i(i = 0, 1, 2, 3,..., n) ряда динамики можно выразить через начальный уровень ряда.у₀ и конечные разности:

 

y_i = y₀ + ∆₀⁽¹⁾; y₂ = y₀ + ∆₀⁽¹⁾ + ∆₁⁽¹⁾,

 

но ∆₁⁽¹⁾ = ∆₀⁽¹⁾ + ∆₀⁽²⁾, поэтому y₂ = у₀ + 2∆₀⁽¹⁾ + ∆₀⁽²⁾

 

и т.д.

 

Отсюда получаем:

 

 

Если первые разности не равны, но варьируют с незначительными отклонениями друг от друга, а средняя арифметическая вторых разностей настолько мала, что ею можно пренебречь, то первые разности можно считать практически равными.

Окончательная формула для расчета уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях будет:

 

 

Если, анализируя вторые разности, мы придем к выводу, что они практически равны, то, вычислив коэффициенты параболы 2-го порядка, получим тренд ряда динамики:

 

 

 

Пример. Рассмотрим сглаживание методом конечных разностей на следующих данных (табл. 10.10).

 

Таблица 10.10