- •Примеры выполнения основных статистических расчетов в металлургии
- •Цель занятий
- •Содержание занятий
- •3. Методика выполнения расчетных заданий
- •4.1 Вычисление среднего, дисперсии и доверительного интервала среднего
- •4.2 Расчет коэффициента корреляции и построение линейного уравнения регресии
- •Решение: Данные для корреляционного анализа представим в виде таблицы 2.
- •Линейная связь считается статистически значимой, если
- •4.3 Проверка однородности ряда дисперсии
- •4.4 Планирование эксперимента
- •Примеры выполнения основных статистических расчетов в металлургии
- •400131, Г. Волгоград, пр. Ленина 28, корп. 1.
- •400131, Г. Волгоград, пр. Ленина 28, корп. 7.
4.4 Планирование эксперимента
Задача. Построить план эксперимента для изучения влияния содержания углерода и легирующих элементов на ударную вязкость стали 40ХН в рамках ее марочного состава.
Решение. Определим уровни варьирования факторов, для этого из марочника стали выпишем содержание основных легирующих элементов в таблицу 1.
Таблица 1 – Исходные данные для планирования
Марка стали |
С, % |
Cr, % |
Ni, % |
40ХН |
0,36 - 0,44 |
0,45 - 0,75 |
1,00 – 1,40 |
Зная максимальное и минимальное содержание легирующих элементов в составе стали 40ХН составим таблицу 2 с условиями эксперимента.
Таблица 2 – Уровни варьирования факторов
Факторы |
С, % |
Cr, % |
Ni, % |
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень (+1) Нижний уровень (-1) |
0,4 0,04 0,44 0,36 |
0,6 0,15 0,75 0,45 |
1,2 0,2 1,4 1,0 |
Поскольку в данной задаче число факторов не превышает 5, то для получения несмешанных оценок эффектов факторов и эффектов парных взаимодействий необходимо использовать полный факторный эксперимент (ПФЭ). В нашем случае это будет ПФЭ=23 (2 – число уровней варьирования, 3 – число факторов). Данный план содержит 23=8 опытов. Для оценки дисперсии опыта добавим к ним 3 опыта в центре плана (уровни варьирования факторов в этих опытах не изменяются и соответствуют хi=0, то есть основному уровню).
Составим матрицу плана эксперимента в кодированном масштабе, таблица 3.
Таблица 3 – План эксперимента в кодированном масштабе*
№ опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
+ + + + + + + + |
+ - + - + - + - |
+ + - - + + - - |
+ + + + - - - - |
9 10 11 |
+ + + |
0 0 0 |
0 0 0 |
0 0 0 |
* Примечание. В таблице присутствует столбец х0, который соответствует фиктивной переменной, имеющей во всех опытах уровень х0=+1 и служащей для расчета свободного члена уравнения регрессии b0.
Построим план эксперимента в натуральном масштабе и представим его в виде таблицы 4.
Таблица 4 – План эксперимента в натуральном масштабе
№ опыта |
Порядок реализации опытов |
С, % |
Cr, % |
Ni, % |
KCU, Дж/см2 |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
5 8 3 4 1 7 6 2 |
0,44 0,36 0,44 0,36 0,44 0,36 0,44 0,36 |
0,75 0,75 0,45 0,45 0,75 0,75 0,45 0,45 |
1,4 1,4 1,4 1,4 1,0 1,0 1,0 1,0 |
|
9 10 11 |
9 10 11 |
0,4 0,4 0,4 |
0,6 0,6 0,6 |
1,2 1,2 1,2 |
|
Уровени, соответствующие хi=+1 или хi=-1, для каждого из факторов берем из таблицы 2 .
В таблице 4 оставлен один пустой столбец для записи результатов опытов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологииУчеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк, 1985.- 327 с.
2. Крохалев А.В., Шевкун Г.П. Методы организации экспериментов в металловедении. Учебное пособие. Волгоград, изд-во ВолгПИ, 1990. 72 с.
3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.: Учебное пособие для втузов. – 2-е изд., пераб. И доп. – М.:Высш. шк., 1988. – 238 с.
4. Новик Ф. С., Арсов Я. Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов, М.-София, 1980. – 304 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1 – Критерий распределения Стьюдента ( t – критерий)
Число степеней свободы, f |
Уровени значимости, α |
|||||
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
|
1 |
1 |
1,376 |
1,963 |
6,314 |
12,706 |
63,657 |
2 |
0,817 |
1,061 |
1,386 |
2,92 |
4,303 |
9,925 |
3 |
0,765 |
0,979 |
1,25 |
2,353 |
3,182 |
5,841 |
4 |
0,741 |
0,941 |
1,19 |
2,132 |
2,776 |
4,604 |
5 |
0,727 |
0,92 |
1,156 |
2,015 |
2,571 |
4,032 |
6 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,943 |
2,447 |
3,707 |
7 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,895 |
2,365 |
3,499 |
8 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,86 |
2,306 |
3,355 |
9 |
0,703 |
0,883 |
1,1 |
1,833 |
2,262 |
3,25 |
10 |
0,7 |
0,879 |
1,093 |
1,812 |
2,228 |
3,169 |
11 |
0,697 |
0,876 |
1,088 |
1,796 |
2,201 |
3,106 |
12 |
0,696 |
0,873 |
1,083 |
1,782 |
2,179 |
3,055 |
13 |
0,694 |
0,87 |
1,08 |
1,771 |
2,16 |
3,012 |
14 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,761 |
2,145 |
2,977 |
13 |
0,694 |
0,87 |
1,08 |
1,753 |
2,131 |
2,947 |
16 |
0,69 |
0,865 |
1,071 |
1,746 |
2,12 |
2,921 |
17 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
1,74 |
2,11 |
2,898 |
18 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,734 |
2,101 |
2,878 |
19 |
0,688 |
0,861 |
1,066 |
1,729 |
2,093 |
2,861 |
20 |
0,687 |
0,86 |
1,064 |
1,725 |
2,086 |
2,845 |
21 |
0,686 |
0,859 |
1,063 |
1,721 |
2,08 |
2,831 |
22 |
0,686 |
0,858 |
1,061 |
1,717 |
2,074 |
2,819 |
23 |
0,685 |
0,858 |
1,06 |
1,714 |
2,069 |
2,807 |
24 |
0,685 |
0,857 |
1,059 |
1,711 |
2,064 |
2,797 |
25 |
0,684 |
0,856 |
1,058 |
1,708 |
2,06 |
2,787 |
26 |
0,684 |
0,856 |
1,058 |
1,706 |
2,056 |
2,779 |
27 |
0,684 |
0,855 |
1,057 |
1,703 |
2,052 |
2,771 |
28 |
0,683 |
0,855 |
1,056 |
1,701 |
2,048 |
2,763 |
29 |
0,683 |
0,854 |
1,055 |
1,699 |
2,045 |
2,756 |
30 |
0,683 |
0,854 |
1,055 |
1,697 |
2,042 |
2,75 |
40 |
0,681 |
0,851 |
1,05 |
1,684 |
2,021 |
2,704 |
1000 |
0,675 |
0,842 |
1,037 |
1,645 |
1,96 |
2,576 |
Таблица 2- Критические значения коэффициента корреляции
Число степеней свободы, f |
Уровени значимости, α |
||||
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
1 |
0,988 |
0,997 |
0,9995 |
0,9999 |
1 |
2 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
3 |
0,805 |
0,878 |
0,934 |
0,95873 |
0,99116 |
4 |
0,729 |
0,811 |
0,882 |
0,9172 |
0,97406 |
5 |
0,669 |
0,755 |
0,833 |
0,8745 |
0,95074 |
6 |
0,622 |
0,707 |
0,789 |
0,8343 |
0,92493 |
7 |
0,582 |
0,666 |
0,75 |
0,7977 |
0,8982 |
8 |
0,549 |
0,632 |
0,715 |
0,7646 |
0,8721 |
9 |
0,521 |
0,602 |
0,685 |
0,7348 |
0,8471 |
10 |
0,497 |
0,576 |
0,658 |
0,7079 |
0,8233 |
11 |
0,476 |
0,553 |
0,634 |
0,6835 |
0,801 |
12 |
0,458 |
0,532 |
0,612 |
0,6614 |
0,78 |
13 |
0,441 |
0,514 |
0,592 |
0,6411 |
0,7603 |
14 |
0,426 |
0,497 |
0,574 |
0,6226 |
0,742 |
15 |
0,412 |
0,482 |
0,558 |
0,6055 |
0,7246 |
16 |
0,4 |
0,468 |
0,542 |
0,5897 |
0,7084 |
17 |
0,389 |
0,456 |
0,529 |
0,5751 |
0,6932 |
18 |
0,378 |
0,444 |
0,515 |
0,5614 |
0,6787 |
19 |
0,369 |
0,433 |
0,503 |
0,5487 |
0,6652 |
20 |
0,36 |
0,423 |
0,492 |
0,5368 |
0,6524 |
21 |
0,352 |
0,413 |
0,482 |
0,526 |
0,64 |
22 |
0,344 |
0,404 |
0,472 |
0,515 |
0,629 |
23 |
0,337 |
0,396 |
0,462 |
0,505 |
0,618 |
24 |
0,33 |
0,388 |
0,453 |
0,496 |
0,607 |
25 |
0,323 |
0,381 |
0,482 |
0,4869 |
0,5974 |
30 |
0,296 |
0,349 |
0,4487 |
0,4487 |
0,5541 |
35 |
0,275 |
0,325 |
0,4182 |
0,4182 |
0,5189 |
40 |
0,257 |
0,304 |
0,3932 |
0,3932 |
0,4896 |
45 |
0,243 |
0,288 |
0,3721 |
0,3721 |
0,4648 |
50 |
0,231 |
0,273 |
0,3541 |
0,3541 |
0,4433 |
60 |
0,211 |
0,25 |
0,3248 |
0,3248 |
0,4078 |
70 |
0,195 |
0,232 |
0,3017 |
0,3017 |
0,3799 |
80 |
0,183 |
0,217 |
0,283 |
0,283 |
0,3568 |
90 |
0,173 |
0,205 |
0,2673 |
0,2673 |
0,3375 |
100 |
0,164 |
0,195 |
0,254 |
0,254 |
0,3211 |
120 |
0,15 |
0,178 |
0,21 |
0,21 |
0,294 |
∞ |
0,073 |
0,087 |
0,103 |
0,103 |
0,146 |
Таблица 3 - Критерий Пирсона χ2
|
χ2 |
||||||
Число степеней свободы, f |
Уровени значимости, α |
||||||
0,99 |
0,95 |
0,9 |
0,5 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
|
1 |
0,000157 |
0,00393 |
0,0158 |
0,455 |
2,706 |
3,841 |
6,635 |
2 |
0,0201 |
0,103 |
0,211 |
1,386 |
4,605 |
5,991 |
9,21 |
3 |
0,115 |
0,352 |
0,584 |
2,366 |
6,251 |
7,815 |
11,345 |
4 |
0,297 |
0,711 |
1,064 |
3,357 |
7,779 |
9,488 |
13,277 |
5 |
0,554 |
1,145 |
1,16 |
4,351 |
9,233 |
11,07 |
15,086 |
6 |
0,872 |
1,635 |
2,204 |
5,348 |
10,645 |
12,592 |
16,812 |
7 |
1,239 |
2,167 |
2,833 |
6,346 |
12,017 |
14,067 |
18,475 |
8 |
1,646 |
2,733 |
3,49 |
7,344 |
13,362 |
15,507 |
20,09 |
9 |
2,088 |
3,325 |
4,168 |
8,343 |
14,684 |
16,919 |
21,666 |
10 |
2,358 |
3,94 |
4,865 |
9,342 |
15,987 |
18,307 |
23,209 |
11 |
3,053 |
4,575 |
5,578 |
10,341 |
17,275 |
19,675 |
24,725 |
12 |
3,571 |
5,226 |
6,304 |
11,34 |
18,549 |
21,026 |
26,217 |
13 |
4,107 |
5,892 |
7,042 |
12,34 |
19,812 |
22,362 |
27,688 |
14 |
4,66 |
6,571 |
7,79 |
13,339 |
21,064 |
23,585 |
29,141 |
15 |
5,229 |
7,261 |
8,547 |
14,339 |
22,307 |
24,996 |
30,578 |
16 |
5,812 |
7,962 |
9,312 |
15,333 |
23,542 |
26,296 |
32 |
17 |
6,408 |
8,672 |
10,035 |
16,338 |
24,769 |
27,587 |
33,409 |
18 |
7,015 |
9,39 |
10,865 |
17,338 |
25,989 |
28,869 |
34,805 |
19 |
7,633 |
10,117 |
11,651 |
18,338 |
27,204 |
30,144 |
36,191 |
20 |
8,26 |
10,851 |
12,443 |
19,337 |
28,412 |
31,41 |
37,566 |
21 |
8,897 |
11,591 |
13,24 |
20,337 |
29,615 |
32,671 |
38,932 |
22 |
9,542 |
12,338 |
14,041 |
21,337 |
30,813 |
33,924 |
40,289 |
23 |
10,196 |
13,091 |
14,848 |
22,337 |
32,007 |
35,172 |
41,638 |
24 |
10,856 |
13,848 |
15,659 |
23,337 |
33,196 |
36,415 |
42,98 |
25 |
11,524 |
14,611 |
16,473 |
24,337 |
34,382 |
37,652 |
44,314 |
26 |
12,198 |
15,379 |
17,292 |
25,336 |
35,563 |
38,885 |
45,642 |
27 |
12,879 |
16,151 |
18,114 |
26,336 |
36,741 |
40,113 |
46,963 |
28 |
13,565 |
16,928 |
18,939 |
27,336 |
37,916 |
41,337 |
48,278 |
29 |
14,256 |
17,708 |
19,768 |
28,336 |
39,087 |
42,557 |
49,588 |
30 |
14,953 |
18,493 |
20,599 |
29,336 |
40,256 |
43,773 |
50,892 |
Александр Васильевич Крохалев
Светлана Сергеевна Сычева
Елена Аркадиевна Косова