4.2 Расчет коэффициента корреляции и построение линейного уравнения регресии

Задача: Рассчитать коэффициент парной корреляции между свойствами стали после закалки и отпуска, произвести проверку его статистической значимости при α=0,1, построить уравнение регрессии. Экспериментальные данные для расчета коэффициента корреляции представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Экспериментальные данные

Температура отпуска, ОС	Ψ, %	КСU, Дж/см2
200 300 400 500 600	46 55 59 61 61	39 49 78 98 127

Решение: Данные для корреляционного анализа представим в виде таблицы 2.

Таблица 2 – Исходные статистические данные

Номер опыта	Параметры оптимизации
	Y1	Y2
1 2 3 4 5	46 55 59 61 61	39 49 78 98 127

Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся следующей формулой

Тогда для определения коэффициента корреляции необходимо рассчитать суммы и .

Для удобства расчета распишем таблицу 2 и приведем к виду:

Таблица 3 – Расчетные значения для определения коэффициента корреляции

46 55 59 61 61	2116 3025 3481 3721 3721	39 49 78 98 127	1521 2401 6084 9604 16129	1794 2695 4602 5978 7747
=282	=16064	=391	=35739	=22816

Далее, используя таблицу 3, найдем коэффициент корреляции:

После расчета коэффициента парной корреляции проверяем его статистическую значимость. Для этого сравниваем расчетное значение с критическим значением коэффициента корреляции представленным в таблице 2 приложения при заданном уровне значимости. Число степеней свободы равно

Линейная связь считается статистически значимой, если

В нашем случае 0,849 0,805. Следовательно, линейная связь между рассматриваемыми переменными значима.

Построим уравнение регрессии, позволяющее предсказывать один из параметров по-другому:

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:

В нашем случае после расчета и уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом

^.

После расчета уравнения регрессии построим поле корреляции

KCU= -230+5,48ψ

Вывод. Уравнение регрессии имеет вид KCU= -230+5,48ψ.

4.3 Проверка однородности ряда дисперсии

Задача: Влияет ли степень деформации на разброс механических свойств стали 40?Уровень значимости при проверке принять равным α=0,05.

Таблица 1 – Экспериментальные данные

	ε = 10 %	ε = 20%	ε = 30 %	ε = 40 %
σв	1210 1200 1230	1250 1270 1280 1260	1300 1290 1320	1310 1300 1320

Решение: В нашей задаче имеет место неравномерное дублирование опытов, поэтому, для подсчета дисперсии результата в отдельных опытах, воспользуемся формулой

,

где - результат g-го повторения u-го опыта;

- среднее арифметическое всех n_u дублей u-го опыта;

f_u - число степеней свободы при определении дисперсии , (f_u = n_u – 1)

Упростим данную формулу, приведя ее к следующему виду:

,

для расчета дисперсий в отдельных опытах , , , произведем следующие вычисления и сведем их в таблицу 2.

Таблица 2 – Расчетные значения для определения дисперсий в отдельных опытах

1210 1200 1230	1464100 1440000 1512900	1250 1270 1280 1260	1562500 1612900 1638400 1587600	1300 1290 1320	1690000 1664100 1742400	1310 1300 1320	1716100 1690000 1742400
= 3640	= 4417000	= 5060	= 6401400	= 3910	= 5096500	= 3930	= 5148500

Определим среднюю дисперсию опыта

Для ответа на поставленный в задании вопрос необходимо проверить однородность ряда дисперсий. Так как у нас используется неравномерное дублирование, то однородность ряда дисперсий проверим по критерию Бартлета.

,

где - средняя дисперсия опыта;

- дисперсия каждого из дублированных опытов.

Найденную величину критерия Бартлета сопоставим с критерием Пирсона χ², который берется из справочной таблицы 3, приведенной в приложении, в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы f, при этом

f = N-1,

где N – количество дублированных опытов.

f = N-1=4-1=3

В нашем случае , следовательно, это означает, что степень деформации на разброс механических свойств стали 40 при уровне значимости α=0,05 не влияет.

Примечание: если значение критерия Бартлета окажется сравнимо или превышает табличное значение , то его уточняют по формуле

после этого снова сравнивают с критерием .