Вопрос 25. Частичная рекурсивность функций , вычислимых на машинах Тьюринга.

Теорема: следующие отношения примитивно рекурсивны

1. Т₀(h,x,y,t)  машина с кодом начиная работу на слове с кодом x ,заканчивает работу на слове с кодом y ,менее чем за t шагов в состоянии q_0.

x=>y

2) T^k(h,y_1….. y_k ,z,t)  машина с кодом n , начиная работу на слове q₁ 0 y₁ 0 y₂ 0…0 y_k 0

заканчивает работу менее чем за е(t) шагов , на слове  q₀ 0 z 0  , где r(t)=C(код ,код  )

t=C(t₁,C(код  , код ))

Следствие: Если функция f(y_1… y_k) – вычислима на м.Т.  существует nN т.ч. f(y_1… y_k)=l(t(T^k(n, y_1… y_k,),e(t),r(t))=1)=(n, y_1… y_k)

Доказательство:

n- код м.Т. , которая вычисляет f

n =код (T(f), f(y_1… y_k)) вычисляется за t₁ шагов

t=C(z,C(t_1,C(код ’,код ’)))

Если f –вычислима на м.Т. ,то f -ЧРФ

Вопрос 26. Универсальное чрф. Теорема роб универсальности. Теорема Райса.

Ф-я ƒ(n,x₁,…x_k) – универсальная для класса ф-ий K, если:

1) для  фиксированной n_o (ƒ(n_o,x₁,…x_k): N^k→N)

2) для ф-ии g  K n_o  N, так что значение ƒ(n_o,x₁,…x_k)=g(x₁,…x_k)

Теорема об универсальности: 1) φ(x_o,y)=l(μt(T¹(x_o,y,l(t),r(t))=1)) является универсальной ф-ей для класса одноместных ЧРФ.

2) φ^s(x_o,x₁,…x_s)=φ(x_o,c^s(x1,…x_s)) – универсальная для класса S-местных ЧРФ.

Теорема о -ии ЧРФ v(x), которую нельзя определить до рекурсивной ф-ии:

Доказательство:v(x)=sgφ(x,x) – ЧРФ. v(x) не доопределима до РФ.

Предположим противное: v_o(x) – РФ, доопределяющая ф-ию v(x).

v_o(x)=φ(n,x) для некоторого n.

v_o(x)=φ(n,x)

sgφ(x,x)  противоречие

Теорема Райса:

Пусть F – некоторое непустое семейство однородных ЧРФ не совпадающих с классом всех одноместных ЧРФ. Тогда множество N_F номеров всех ф-ий, входящих в F – нерекурсивно.

Вопрос 27. Геделевская нумерация формул, аксиом и правил вывода исчисления предикатов. Рекурсивно перечислимые множество…

Гёделевская нумерация формул, аксиом и правил вывода исчисления предикатов.

Разрешимые и неразрешимые элементарные теории.

={+⁽²⁾,  ⁽²⁾, S⁽¹⁾, 0⁽⁰⁾, ≤ ⁽²⁾}

Константа 0 с(0,1)

Переменныеv_k с(1,k)

Термы:S(t₁) с(2, код t₁)

t₁+t₂ с(3, с(код t₁, код t₂))

t₁t₂ с(3, с(код t₁, код t₂))

Атомарные формулы:t₁≈t2 с(5, с(код t₁, код t₂))

t₁t₂ с(6, с(код t₁, код t₂))

Формулы: φ с(7, с(код φ, код ))

φ с(8, с(код φ, код ))

φ с(9, с(код φ, код ))

^φ с(10, код φ)

 v_n φ с(11, с(n, код φ))

 v_n φ с(12, с(n, код φ))

Секвенция φ₁,…φ_n  с(13, сⁿ⁺¹(код φ₁,… код φ_n, код ))

{n  n – код некоторой формулы} – ПРО (примитивно рекурсивное отношение)

1, если n – код формулы и v_s входит в эту формулу свободно

ПРФ F_r (r,s)= 

0, в противном случае

Sb(код φ, n, код t)=код ((φ)_t^vn) – РФ

1, если n – код i-ой аксиомы

ПРФ A_i (n)= 

0, в противном случае

1, если секв. с кодом k получается из секв. с кодами m, n по правилу 1

ПРФ R₁ (n,m,k)= 

0, в противном случае

Рекурсивно перечислимые множества.

Теорема: множество номеров доказуемых формул ИП^ рекурсивно перечислимо.

Следствие: если X - рекурсивно перечислимое множество номеров формул, то тогда

{код φx φ} – рекурсивное множество.

Теорема о неразрешимости элементарной арифметики: еслиX – непротиворечивое множество формул, X≥A_o, то T={код φ  x φ, φ - предложение} нерекурсивно.

Теорема Гёделя о неполноте арифметики Пеано: если X – непротиворечивое рекурсивное

расширениеA_o, то {код φ  x φ и φ - предложение} – неполная теория.

Теорема Чёрча о неразрешимости ИП^: множество номеров доказуемых в ИП^ формул не рекурсивно.