8.6 Способ составления снф для произвольной формулы алгебры логики по таблице истинности.
Пусть некоторая функция f трёх переменных задана следующей таблицей истинности:
-
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Проделаем следующие операции.
1) Выбираем наборы
значений переменных, для которых
:
(0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 1; 1).
2) Каждому из этих
наборов сопоставляем (ставим в
соответствие) конъюнкцию переменных
или их отрицаний, принимающую при этих
значениях переменных значение 1:
набору (0; 1; 1) –
конъюнкцию
,
набору (1; 0; 1) –
конъюнкцию
,
набору (1; 1; 0) –
конъюнкцию
,
набору (1; 1; 1) –
конъюнкцию
.
3) Дизъюнкция этих конъюнкций равна единице в тех и только тех случаях, когда и заданная функция принимает значение 1 и, следовательно, представляет собой одно из возможных выражений этой функции, т.е.
.
Это выражение является, очевидно, СДНФ данной функции.
11.
Логическое следование в логике высказываний
[П1, 2.11], [Кли, 7], [Сто, 2.4–2.5], [Bil, 2]
Определение 2.73. Пусть Г — некоторое множество формул логики высказы-
ваний и A — формула логики высказываний. Говорят, что формула A логически
следует (или просто следует) из множества Г (обозначение Г _ A), если формула A
истинна при каждой оценке пропозициональных переменных, при которой истинны
все формулы из Г.
Пример 2.74. {P . Q,R, ｬQ} _ P . R.
Замечание 2.75. Формула A следует из множества {B1, . . ., Bn} тогда и только
тогда, когда формула B1 . . . . . Bn >A является тавтологией.
(П1, теорема 2.11, с. 16.)
12.
Аксиомы и правила гильбертовского исчисления высказыва-
ний
[ВШ2, 2.1], [П1, 4.1–4.2], [КД, с. 45–48], [Мен, 1.4, 1.6], [Кли, 9], [Bil, 3]
Определение 4.2. Аксиомами классического исчисления высказываний являют-
ся формулы следующих видов:
1) A>(B >A),
2) (A>B)>((A>(B >C))>(A>C)),
3) A . B >A,
4) A . B >B,
5) A>(B >A . B),
6) A>A . B,
7) B >A . B,
8) (A>C)>((B >C)>(A . B >C)),
9) (A>B)>((A>ｬB)>ｬA),
10) ｬｬA>A.
Правило вывода modus ponens:A A>B
B
(MP).
(Мен, с. 49.)
Определение 4.3 (вывод). Выводом в исчислении высказываний (или просто
выводом) называется конечная последовательность формул, каждая из которых яв-
ляется аксиомой или получается из некоторых предыдущих формул по правилу вы-
вода.
(ВШ2, с. 48.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.4. Следующая последовательность формул является выводом:
P >Q . P
Q>Q . P
(P >Q . P)>((Q>Q . P)>(P . Q>Q . P))
(Q>Q . P)>(P . Q>Q . P) (MP)
P . Q>Q . P (MP).
Определение 4.5 (выводимая формула). Формула A называется выводимой
в исчислении высказываний или теоремой исчисления высказываний (обозначение
_ A), если существует вывод, в котором последняя формула есть A.
(ВШ2, с. 48.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.6. _ P . Q>Q . P.
Определение 4.7 (вывод из гипотез). Пусть Г — некоторое множество формул.
Выводом из Г называется конечная последовательность формул, каждая из которых
либо принадлежит множеству Г, либо является аксиомой, либо получается из преды-
дущих формул по правилу вывода. Элементы множества Г называются гипотезами.
41 20.10.2006
(ВШ2, с. 50.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.8. Следующая последовательность формул является выводом из мно-
жества гипотез {P . Q}:
P . Q (гипотеза)
P . Q>P
P (MP)
P . Q>Q
Q (MP)
Q>(P >Q . P)
P >Q . P (MP)
Q . P (MP).
Определение 4.9 (выводимость из гипотез). Формула A называется выводи-
мой из множества формул Г (обозначение Г _ A), если существует вывод из Г,
в котором последняя формула есть A.
(ВШ2, с. 50.)
(П1, с. 23.)
4.10. Вместо {B1, . . ., Bn} _ A обычно пишут B1, . . ., Bn _ A.
Пример 4.11. P . Q _ Q . P.
13.
Определение доказуемой (выводимой) формулы.
Следующим этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых (выводимых) формул.
Определение доказуемых формул имеет тот же характер , что и определение формулы.
Сначала определяются исходные доказуемые выводимые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.
Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода называется выводом (доказательством) данной формулы из аксиом.В основу исчисления высказываний могут быть положены различные системы аксиом, эквивалентные между собой в том смысле, что определяемый ими класс выводимых формул – один и тот же. Рассмотрим одну из них.
Система аксиом исчисления высказываний.
Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом (по сути представляющих собой тождественно истинные формулы алгебры логики), которые делятся на четыре группы.
Первая группа аксиом (содержащая только импликацию).
:
.
:
.
Вторая группа аксиом (к импликации присоединилась конъюнкция):
:
:
.
:
.
Третья группа аксиом (к импликации присоединилась дизъюнкция):
:
:
:
.
Четвертая группа аксиом (к импликации присоединилось отрицание):
:
:
:
Правила вывода.
1 Правило подстановки(ПП).
Если формула А выводима (доказуема) в исчислении высказываний, х- переменная, В- произвольная формула исчисления высказываний, то формула , полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду , где она входит, формулой В, является также выводимой(доказуемой) формулой (ситуация та же, что имела место в алгебре логики, которая является интерпретацией исчисления высказываний).
Операция замены в формуле А переменной х формулой В, носит название подстановки и символически записывается так:
или
.
Уточним сформулированное правило:
а) если формула А
есть собственно переменная х , то
подстановка
дает , очевидно, В;
б) если формула А
есть переменная y
, отличная от х ,то подстановка
дает А;
в)подстановка
формулы В вместо х в отрицание формулы
А есть отрицание подстановки , т. е.
подстановка
дает
;
г) если А1
и А2-
некоторые формулы, то подстановка
дает
*
,
где через символ * обозначен любой из
символов операций конъюнкция, дизъюнкция
или отрицание
Если А- выводимая (доказуемая ) формула, то будем писать, как и ранее, ├А. Тогда ПП можно записать схематически следующим образом:
├А____ .
├
И читается эта
запись так: “Если формула А выводима
(доказуема), то выводима (доказуема) и
формула
.
2 Правило заключения (ПЗ).
Если формулы А и А→В выводимы (доказуемы) в исчислении высказываний, то формула В также выводима (доказуема). Схематическая запись этого правила имеет вид:
├А;├А→В (Modus ponens)
├В
Правомерность этого правила очевидна: если импликация и посылка истинны, то заключение в импликации может быть только истинным(см. таблицу истинности операции “импликация”).
Определение выводимой (доказуемой ) формулы.
а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.
б)Формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной х произвольной формулы В, есть доказуемая формула.
в) Формула В,
полученная из доказуемых формул А и
путем применения ПЗ, есть доказуемая
формула.
г) Никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой .
Процесс получения доказуемых формул будем называть доказательством (выводом) формул. Это процесс последовательного перехода от одной доказуемой формулы к другой с помощью аксиом, правила подстановки и правила заключения на каждом шаге (в определенном смысле это аналог равносильным преобразованиям в алгебре логики), так что вывод даже простой формулы может оказаться, в силу его многошаговости, достаточно громоздким.
14.
Аксиомы и правила гильбертовского исчисления высказыва-
ний
[ВШ2, 2.1], [П1, 4.1–4.2], [КД, с. 45–48], [Мен, 1.4, 1.6], [Кли, 9], [Bil, 3]
Определение 4.2. Аксиомами классического исчисления высказываний являют-
ся формулы следующих видов:
1) A>(B >A),
2) (A>B)>((A>(B >C))>(A>C)),
3) A . B >A,
4) A . B >B,
5) A>(B >A . B),
6) A>A . B,
7) B >A . B,
8) (A>C)>((B >C)>(A . B >C)),
9) (A>B)>((A>ｬB)>ｬA),
10) ｬｬA>A.
Правило вывода modus ponens:A A>B
B
(MP).
(Мен, с. 49.)
Определение 4.3 (вывод). Выводом в исчислении высказываний (или просто
выводом) называется конечная последовательность формул, каждая из которых яв-
ляется аксиомой или получается из некоторых предыдущих формул по правилу вы-
вода.
(ВШ2, с. 48.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.4. Следующая последовательность формул является выводом:
P >Q . P
Q>Q . P
(P >Q . P)>((Q>Q . P)>(P . Q>Q . P))
(Q>Q . P)>(P . Q>Q . P) (MP)
P . Q>Q . P (MP).
Определение 4.5 (выводимая формула). Формула A называется выводимой
в исчислении высказываний или теоремой исчисления высказываний (обозначение
_ A), если существует вывод, в котором последняя формула есть A.
(ВШ2, с. 48.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.6. _ P . Q>Q . P.
Определение 4.7 (вывод из гипотез). Пусть Г — некоторое множество формул.
Выводом из Г называется конечная последовательность формул, каждая из которых
либо принадлежит множеству Г, либо является аксиомой, либо получается из преды-
дущих формул по правилу вывода. Элементы множества Г называются гипотезами.
41 20.10.2006
(ВШ2, с. 50.)
(П1, с. 23.)
Пример 4.8. Следующая последовательность формул является выводом из мно-
жества гипотез {P . Q}:
P . Q (гипотеза)
P . Q>P
P (MP)
P . Q>Q
Q (MP)
Q>(P >Q . P)
P >Q . P (MP)
Q . P (MP).
Определение 4.9 (выводимость из гипотез). Формула A называется выводи-
мой из множества формул Г (обозначение Г _ A), если существует вывод из Г,
в котором последняя формула есть A.
(ВШ2, с. 50.)
(П1, с. 23.)
4.10. Вместо {B1, . . ., Bn} _ A обычно пишут B1, . . ., Bn _ A.
Пример 4.11. P . Q _ Q . P.
4.2 Вывод формулы A>A
[ВШ2, 2.1], [П1, 4.2], [Мен, 1.4], [Кли, 9], [КД, с. 48], [Bil, 3]
Лемма 4.12. Формула A>A выводима.
(ВШ2, лемма 1, с. 49.)
(П1, теорема 4.1, с. 24.)
Доказательство.
(A>(A>A))>((A>((A>A)>A))>(A>A))
A>(A>A)
(A>((A>A)>A))>(A>A) (MP)
A>((A>A)>A)
A>A (MP).
15-17.
Теорема о дедукции для исчисления высказываний
[ВШ2, 2.1], [Мен, 1.4], [П1, 4.2], [Кли, 10], [Bil, 3]
Теорема 4.15 (о дедукции). Если Г . {A} _ B , тоГ _ (A>B) .
(Мен, предложение 1.8, с. 40.)
(ВШ2, лемма 2, с. 50.)
(П1, теорема 4.6, с. 25.)
Доказательство. Теорема доказывается индукцией по длине вывода формулы B
из множества гипотез Г . {A}.
Если B является аксиомой или принадлежит Г, то искомый вывод выглядит так:
B
B >(A>B)
(A>B) (MP).
Если B совпадает с A, то используем лемму 4.12.
Если B получена из некоторых предыдущих формул по правилу вывода modus
ponens, то эти формулы имеют вид C и C >B. Согласно предположению индукции
Г _ (A>C) и Г _ (A>(C>B)). Искомый вывод формулы B из множества гипотез
Г . {A} состоит из этих двух выводов и следующих формул:
(A>C)>((A>(C >B))>(A>B))
(A>(C >B))>(A>B) (MP)
A>B (MP).
4.16. Вместо Г . {A} _ B обычно пишут Г, A _ B.
Пример 4.17. Можно проверить, что P >Q, ｬQ _ ｬP:
P >Q
ｬQ
(P >Q)>((P >ｬQ)>ｬP)
(P >ｬQ)>ｬP (MP)
ｬQ>(P >ｬQ)
P >ｬQ (MP)
ｬP (MP).
Следовательно, P >Q _ ｬQ>ｬP.
Пример 4.18. Из примера 4.11 и теоремы 4.15 следует, что _ P . Q>Q . P.
Теорема 4.19. Пусть Г — некоторое множество формул. Тогда Г _ (A>B) в том
и только том случае, когда Г . {A} _ B .
(ВШ2, лемма 2, с. 50.)
(П1, теорема 4.6, с. 25.)
Доказательство. Достаточность доказана в теореме 4.15. Необходимость дока-
зывается одним применением правила modus ponens.
43 20.10.2006