Розділ 4. Наукова робота в Інституті термоелектрики

1. Фізична модель проникного термоелемента та її математичний опис

Фізична модель проникного ФГМ термоелемента, що працює в режимі генерації електричної енергії приведена на рис.2.1. Вона містить вітки n - і p- типів провідності, властивості матеріалу яких змінюються з координатою х внаслідок залежності термоелектричних властивостей матеріалу від температури T(х) і від неоднорідності розподілу концентрації носіїв струму в матеріалі (х). Температура, яка підводиться до термоелемента теплоносія, дорівнює T_m, температура холодних спаїв термоелемента T_c. У моделі враховується також наявність контактних опорів r₀ у місцях контакту комутаційних пластин з вітками термоелемента. Теплоносій прокачується від гарячих спаїв до холодних. Витрата тепла G від теплоносія відбувається шляхом його теплообміну з внутрішньою поверхнею каналів віток. Бічні поверхні віток адіабатично ізольовані.

Рис.2.1. Модель проникного генераторного термоелемента.

В цих умовах припустимо використовувати одномірний розподіл температур вздовж осі х. Стаціонарний розподіл температур T(х) і теплових потоків q(х), теплоносії t(х) у вітках знайдемо з рішення системи диференціальних рівнянь:

(2.1)

де _n,p=_n,p(T(х),_n,p(х)), _n,p=_n,p(T(х), _n,p(х)), _n,p=_n,p(T(х), _n,p(х)) - коефіцієнти термоЕРС, теплопровідності і питомий електричний опір матеріалу вітки n і p – типів залежать від розподілу концентрації носіїв струму _n,p(х) і температури T(х); – безрозмірна координата; – ефективний коефіцієнт тепловіддачі, _T – коефіцієнт тепловіддачі, – периметр каналу, N_K – число каналів, l – висота віток термоелемента; S_K –площа перетину всіх каналів; S – перетин вітки разом з каналами; t – температура теплоносія в точці x; T – температура вітки в точці x; ; i – густина струму (i= ); с_р – теплоємність теплоносія.

Основною задачею дослідження є пошук таких погоджених оптимальних розподілів концентрації носіїв струму в матеріалі віток _n,p(х), такої витрати теплоносія і густини струму , при яких досягається максимальний коефіцієнт корисної дії для заданих температур холодних спаїв T_с, теплоносія T_m і за умови теплової ізоляції гарячих спаїв [76]. Граничні умови для системи диференціальних рівнянь (2.18) записуються у вигляді

. (2.2)

Задачу досягнення максимуму ККД

, (2.3)

де - електрична потужність, яка генерується термоелементом; - наявна теплова енергія теплоносія; - контактний опір; зручно звести до досягнення мінімуму функціонала

. (2.4)

Мовою теорії оптимального керування завдання оптимізації полягає в тім, щоб визначити витрати теплоносія G, густину струму j і функції концентрації носіїв у матеріалі віток _n,p(х), які при обмеженнях диференціальних рівнянь, що накладаються системою, (2.18), (2.19)

2. Метод розрахунку та оптимізації проникного фгм термоелемента

Для рішення такої задачі скористаємось математичною теорією оптимального керування, заснованою на застосуванні принципу максимуму Понтрягіна. Відповідно до цієї теорії для мінімуму J повинні виконуватися наступні умови [59].

1. Густина струму повинна задовольняти рівності

. (2.5)

2. Витрати теплоносія в каналах повинна задовольняти рівнянню

. (2.6)

3. Значення оптимальних концентрацій носіїв для матеріалів віток _n,p повинні задовольняти умовам

(2.7)

Функції неоднорідності матеріалів віток _n,p(х) повинні визначатися з умов

. (2.32)

У (2.29)-(2.32) H - функція Гамільтона, що має вид

,

- праві частини системи диференціальних рівнянь (2.25), - вектор імпульсів, що визначається з рішення допоміжної системи диференціальних рівнянь, канонічно спряжених системі (2.25)

(2.8)

де

з граничними умовами

(2.9)

Для знаходження рішення такої задачі доцільно використовувати чисельні методи в поєднанні з методами комп'ютерного моделювання [80]. На основі системи рівнянь (2.5), (2.6), (2.7)-(2.9) розроблена комп'ютерна програма для визначення витрати теплоносія G, густини струму j і розподілу концентрації носіїв _n,p(х), при яких коефіцієнт корисної дії проникного генераторного термоелемента буде максимальним.