- •2. Метод Зейделя
- •4. Отделение корней.
- •5. Метод половинного деления.
- •6. Метод хорд.
- •7. Метод касательных.
- •8. Теорема о методе касательных.
- •9. Видоизмененный метод Ньютона.
- •10. Комбинированный метод.
- •11. Метод итераций.
- •12. Теорема о сходимости метода итераций.
- •13. Выбор коэф-та в методе итераций.
- •14. Метод итерации решения нелинейных систем второго порядка.
- •15. Метод простой итерации решения систем общего вида.
- •16. Метод Ньютона решения систем.
- •17. Теорема о сходимости метода Ньютона. Модиф-й метод Ньютона.
- •18. Метод скорейшего спуска решения систем.
- •19. Метод скорейшего спуска решения линейных систем.
- •20. Формула трапеций.
- •21. Нахождение остаточного члена в формуле трапеций.
- •23. Оценка погрешности в формуле Симпсона.
- •24. Метод Эйлера решения д.У.
- •24. Модиф-й метод Эйлера.
- •26. Усовер-й метод Эйлера.
- •28. Интерполирование ф-ий. Постановка задачи.
- •29. Конечные разности.
- •31. Ф-ла Ньютона для разностных узлов.
- •33.М-д Конечных разностей.
- •35. Ур-ие Лапласа в конечных разностях.
16. Метод Ньютона решения систем.
Рассм-м систему: / f1(x1…xn)=0
\ fn(x1…xn)=0 OR f(x)=0
Предположим, что найденоx(p)=(x1(p) …xn(p)) приближение, одного из его кoрней, тогда точный корень может быть предложен в виде:
x=x(p)+ (p) , где (p)=(1 (p)… n(p)) явл-ся погрешностью, т.е. ур-е может быть записано в видеf(x(р) + (p))=0 Разложим левую часть ур-я по степеням ограничившись линейными членами:
f(x(р)+ (p))= f(x(р) )+ f’(x(р) )* (p) Перепишем это ур-е в развернутом виде:
f1(x1(р)+1 (p)…xn(р)+n (p))= f1(x1(р) ..xn(р)) +f’1x1(x1(р)…xn(р))*1 (p)+..+f’1xn(x1(р)…xn(р))*n(p)
Fn(x1(р)+1 (p)…xn(р)+n (p))= fn(x1(р) …xn(р))+f’n x1(x1(р)…xn(р))*1 (p)+…+f’n xn(x1(р)…xn(р))*n(p) Т.е. матрица f’(x) явл-ся матрицей Якоби. Иначе f’(x)= W(x)=[f i /x j] ij =1,n Исходная система имеет вид: f(x(р))+W(x(р))*(p)=0=> W-1(x(р))*f(x(р))+(p)=0 (p)= -W -1(x(р))*f(x(р)) Подставляя в исходное:
x(р+1)=x(р)- W -1(x(p))*f(x(p))
17. Теорема о сходимости метода Ньютона. Модиф-й метод Ньютона.
(дост-е усл-я сх-ти) Теорема: Пусть дана нелинейная системаf(x)=0 или
f(x)=/ f1(x1…xn)
\ fn(x1…xn)
где ф-ии f1…fn определены и непрерывны вместе со своими частными производными 1го и 2го порядка. Пусть x(0) – некоторое начальное условие. И пусть выполнено:
1)Якобиан имеет обратную матрицу W-1(x(0))=Г0
|| Г0||<=A0
2) || Г0*f(x(0))||<=B0 3) |2f i(x)/xixj|<=C 4) Полученные постоянные удовл-ют условию: 0=2nA0B0C<1
Тогда процесс Ньютона x(р+1)=x(р)- W-1 (x(p))*f(x(p)) – сх-ся причём x*=limn-x(p) ||x*-x(0)||<=2B0 Под нормой матрицы поним-ся
||A||=maxij|aij|
Метод простой итерации: x(р+1)=x(р)- W-1 (x(p))*f(x(p)) явл-ся модиф-м методом Ньютона, и соотв-но теорема о сх-ти метода простой итерации аналогична теореме сх-ти метода Ньютона.
18. Метод скорейшего спуска решения систем.
f(x)=0 / f1(x1…xn)=0
\ fn(x1…xn)=0
Предположим, что все fi непрерывны, диф-мы. Рассм-м ф-ю U(x)=(f(x),f(x))= i=1N(fi(x))2 Очевидно, что каждое решение исходной сис-мы обращают в нуль ф-и U(x)
И наоборот те числа, кот-е обращают в нуль ф-ю U(x), явл-ся решением исходной системы. Положим, что исход-я сис-ма имеет лишь одно решение, кот-е явл-ся т. min ф-и U(x) т.о. задача свод-ся к нахож-ю точки min ф-и U(x).
Пусть х – решение системы. х(0)- нулевое приближение, в точкех(0) проведём поверх-ть уровня U(x)=U(x(0)). Если нач-я точка близка к решению,то повер-ть уровня похожа на эллипсоид. Из точки х(0) будем двиг-ся по нормали к повер-ти U(x)=U(x(0)), до тех пор пока нормаль не коснётся другой поверх-ти уровня U(x)=U(x(1)), затем отправляясь из точки х(1) по нормали к поверх-ти уровня U(x)=U(x(1)), до тех пор пока эта нормаль не коснётся поверх-ти уровня U(x)=U(x(2))… т.д. Очевидно, что
U(x(0))>…>U(x(n)), отсюда придём к точки min ф-ии U. А этот минимум явл-ся решением исходной системы.
Обозначим U=gradU=U*i/x+U*j/y+U*k/z=[U/x,…]
Из полученных треугольников ОМ0М1, ОМ1М2…М записать: x(p+1)=x(p)-(p) U(x(p))
(p)- некоторый коэф-т на каждом шаге. Задача – его найти. Рассм. ф-ю Ф()=U(x(p)- U(x(p)) эта ф-я задаёт изменение уровня ф-и U, вдоль соот-ей нормали к поверх-ти уровня в точке х(р). Множитель =(р) нужно выбирать таким образом чтобы ф-я Ф() имела мин. Т.е.
dФ()/d=d*U(x(p)- U(x(p)))/d=0 Наим-й полож-й корень есть .
Полученную систему ур-й будем решать численно, поскольку предп что мало, то будем брать только линейные члены разложения ф-и в ряд Тейлора ( мало, 2..-> к нулю) Ф()=i=1N(fix(p)-pU(x(p)))2
Ф()=i=1N[fi x(p)-*fi(x(p)) *U(x(p))/x]2 - разложение в ряд Тейлора до линейных членов. fi/x=[f1/x1…fn/xn] отсюда
Ф()/=-2[fi x(p)-*fi(x(p)) *U(x(p))/x]* fi(x(p)) *U(x(p))/x=0 Выразим :
=2WT(x)f(x); x(p+1)=x(p)-pWT(x(p)) f(x(p))
p=2р