3. Формула Муавра. Извлечение корня Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа удобно производить тогда, когда комплексное число задано в тригонометрической форме.
Пусть z = r (cos + i sin ). Найти zn – значит повторить сомножителем z n раз. Тогда на основании известных правил умножения комплексных чисел, будем иметь:
zn = r (cos + i sin )n = rn (cos n + i sin n );
zn = rn (cos n + i sin ) (3)
Формула (3) называется формулой Муавра и показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Число называется корнем степени n из числа z, если n = z.
=
S (cos
+ i sin
);
z = r (cos
+ i sin );
S (cos + i sin )n = r (cos + i sin )
Sn (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin ).
Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2.
r
= Sn
S =
;
n
=
+ 2k
;
=
;
),
где k = 0, 1, 2… (n – 1).
Придавая k n различных значений 0, 1, 2… (n – 1), получим n различных значений корня.
Для контроля усвоения задать вопрос: Выполнить действия:
1.
(
- i)9.
Ответ:
512 i
2.
.
Ответ: z0 = + i , z1 = - +i , z2 = - -i , z3 = -i .
Вывод: Таким образом, с помощью формулы Муавра можно извлечь корень из комплексного числа и возвести его в любую степень. При извлечении корня из комплексного числа необходимо находить все значения результата. Количество ответов равно степени корня.
4. Действия над комплексными числами в показательной форме
Показательная форма записи комплексных чисел является наиболее удобной для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней из комплексных чисел. Покажем основные соотношения, с помощью которых выполняются эти действия.
Пусть заданы два комплексных числа в показательной форме записи:
Z1 = r 1 e i1, Z2 = r 2 e i2.
Произведение этих чисел равно:
Z1 Z2= r 1 r 2 e i(1+2).
Частное от деления чисел определяется по формуле:
Z1 /Z2= r 1 /r 2 e i(1-2).
Возведение в целую степень n осуществляется по правилу:
(r e i)n = (r )n e in.
Для извлечения корня целой степени n используется формула:
,
k=0;1;2;…;n-1.
Для сложения или вычитания комплексных чисел, заданных в показательной форме, необходимо их перевести вначале в алгебраическую форму.
Для закрепления усвоения материала пример:
Вычислить комплексное число, записав его в показательной форме:
.
Решение:
.
Вывод: При сложении и вычитании комплексных чисел используется алгебраическая форма записи. При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня наиболее подходящей является показательная форма записи комплексных чисел.