2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Построим на комплексной плоскости число z = x + iy и вектор, соответствующий этому числу.
(
.)
M (x, y)
z = x + iy;
z = x + iy.
Определим полярные координаты точки M (, r), считая точку 0 полюсом, а положительное направление оси OX – полярной осью.
OM = r; MOA = , тогда из MOA имеем: x = r cos , y = r sin .
Тогда комплексное число z = x + iy можно записать в виде z = r cos + ir sin или z = r (cos + i sin ).
Запись комплексного числа в виде z = r (cos + i sin ) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Из
MOA можно найти, r =
,
а tg =
или = arctg
.
Определение.
1. Модулем
комплексного числа называется длина
вектора, соответствующего этому числу
= r; r =
;
r =
;
.
Определение. 2. Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу.
Arg
z = Arg (x + iy); Arg z = arc tg
.
Под Arg z понимается общее значение аргумента, а главное значение arg z берётся в интервале -1800 < arg z 1800.
На практике под аргументом комплексного числа понимается именно главное его значение.
Для контроля усвоения задать вопрос:
Записать число z = 1 – i в тригонометрической
форме. Ответ: 1 – i =
(cos 450-isin450).
Выводы: Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо знание модуля и аргумента комплексного числа. Аргумент комплексного числа принято записывать в пределах от -180о до +180o].
3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Во многих случаях использования комплексных чисел применяется показательная форма их записи. Для получения этой формы используется формула Эйлера:
,
вывод которой основывается на знании степенных рядов.
Представим комплексное число в тригонометрической форме:
z = r (cos + i sin )
На основании формулы Эйлера получим показательную форму комплексного числа:
z = r e i.
Для перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной воспользуемся известными формулами:
r
=
,
= arctg
.
Вычисление аргумента по приведенной формуле рекомендуется производить с осторожностью. Следует правильно определять знак аргумента с учетом расположения комплексного числа на комплексной плоскости и следить за тем, чтобы абсолютное значение аргумента не превышало .
Для контроля усвоения задать вопрос: Записать комплексное число
z = –1 + i в показательной форме.
Ответ:
–1+ i =
Вывод: Формула Эйлера позволяет представить комплексное число в показательной форме, представляющей произведение модуля комплексного числа на экспоненту. Показатель степени в экспоненте мнимый, его коэффициентом является аргумент комплексного числа.
Действия над комплексными числами
1. Операции над комплексными числами в алгебраической форме Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел x1 + iy1 и x2 + iy2 называется комплексное число, определяемое равенством.
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2) (1)