Комплексные числа

Появление комплексных чисел связано с расширением понятия числа и возможностью выполнения различных математических действий.

Во множестве натуральных чисел выполнимы только сложение и умножение. Деление натуральных чисел приводит к дробным числам, появляется множество рациональных чисел. Вычитание натуральных чисел потребовало введения отрицательных чисел. Несоизмеримость некоторых отрезков с единицей длины приводит к появлению иррациональных чисел.

Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные получили общее название действительных или вещественных чисел.

Дальнейшее развитие алгебры привело к невозможности операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Уравнение вида x² – 1 = 0 имеет решение в виде действительной единицы (x² = 1, x = , x = 1). Уравнение вида x² + 1 так же должно иметь решение (x² = -1, x =  ) и поэтому необходимо ввести новую единицу. Было принято обозначение или i² = -1. Тогда уравнение x² + 1 = 0 имеет решение в виде x = i. По исторической традиции i назвали мнимой единицей, появилось понятие комплексного числа.

Рассмотрению таких чисел, их различным представлениям посвящена данная тема. Необходимость изучения комплексных чисел связана с широким использованием их при анализе гармонических колебаний и в других практических приложениях.

1. Алгебраическая форма комплексного числа и изображение его на комплексной плоскости

Определение. Комплексными числами называются выражения вида x+ yi , где x, y – вещественные числа, а i - мнимая единица.

z = x + iy

x – вещественная часть комплексного числа: x = Re z;

iy – мнимая часть: iy = Jm z.

Запись комплексного числа в виде z = x + iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда x = 0 и y = 0:

z = x + iy = 0  .

Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части:

z₁ = x₁+ iy₁, z₂ = x₂ + iy₂,

z₁ = z₂  .

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряжёнными z = x + iy, z^* = x – iy.

Если z = x+i0, то z – действительное число. Отсюда следует, что действительные числа являются подмножеством комплексных чисел.

Комплексные числа изображаются точками числовой плоскости. Каждому комплексному числу x + iy ставится в соответствии точка M (x, y) координатной плоскости так, что абсцисса точки равна действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой части. Координатная плоскость XOY называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней расположены точки, соответствующие комплексным числам x + i0, т.е. действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат точки, соответствующие чисто мнимым комплексным числам 0 +iy.

Важной и удобной является интерпретация комплексного числа x + iy как вектора , т.е. вектора, исходящего из начала координат 0 (0, 0) идущего в точку M (x, y). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и векторами плоскости, выходящими из начала координат.

Для контроля усвоения задать вопрос: Представить графические изображения комплексных чисел: –2-i3 и –2+i3; сделать сравнительный вывод о расположении чисел на комплексной плоскости.

Выводы: Комплексное число в алгебраической форме записи содержит действительную и мнимую части. Комплексное число может изображаться точкой или вектором на комплексной плоскости, координатами которых являются действительная часть и коэффициент при мнимой части комплексного числа.