§ 19. Выравнивание частот

1. Выровнять опытные данные, применив закон распределения с равномерной плотностью:

I_i 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

n_i 11 14 15 10 14 16

2. Дано статистическое распределение:

I_i (0,3) (3,6) (6,9) (9,12) (12,15) (15,18) (18,21) (21,24) (24,27) (27,31)

n_i 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1

Построить гистограмму его относительных частот, показать, что оно близко к нормальному распределению. Выровнять опытные данные, применив нормальный закон распределения.

3. Произвести выравнивание опытных данных:

x_i 0 1 2 3 4 5 6 7

n_i 7 21 26 21 13 7 3 2

Показать, что оно близко к распределению Пуассона, установить зависимость между значениями случайной величины и их вероятностями.

4. Для изучения непрерывной случайной величины были проведены наблюдения. Данные наблюдений сведены в таблицу, где 1-я строка – середины частичных интервалов, 2-я строка – соответствующие им частоты:

x_i 1 6 11 16 21

n_i 5 25 40 20 10

Требуется: 1) найти эмпирическую функцию распределения, построить её график; 2) построить гистограмму относительных частот; 3) считая, что случайная величина распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров а*, *; 4) найти уравнение выравнивающей кривой и построить её график на одном чертеже с гистограммой относительных частот; 5) найти доверительный интервал для оценки мат.ожидания нормального распределения при доверительной вероятности =0,95.

§ 20. Проверка гипотез о значениях числовых параметров:

F-критерий Фишера (для сравнения дисперсий),

t-критерий Стьюдента (для сравнения средних величин)

1. По двум независимым выборкам, объемы которых 11 и 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии 0,76 и 0,38. При уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)>D(Y). Ответ: принимаем.

2. По двум независимым выборкам, объемы которых 9 и 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии 34,02 и 12,15. При уровне значимости 0,005, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)>D(Y). Ответ: принимаем.

3. По двум независимым выборкам, объемы которых 14 и 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии 0,84 и 2,52. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)≠D(Y). Ответ: отвергаем.

4. По двум независимым выборкам, объемы которых 9 и 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии 14,4 и 20,5. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)≠D(Y). Ответ: принимаем.

5. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

а) в первом случае: 9,6; 10,0; 9,8; 10,2; 10,6;

б) во втором случае: 10,4; 9,7; 1O,0; 10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

6. Для сравнения точности двух приборов взяты две пробы (выборки), объемы которых 10 и 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

Х 1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42

Y 1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38

Можно ли считать, что приборы обладают одинаковой точностью [Н₀: D(X)=D(Y)], если принять уровень значимости 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: D(X)≠D(Y)? Ответ: да.

7. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых n=10, m=12. Получены следующие результаты измерения контролируемого параметра изделий:

контролируемый размер изделий первого станка: х_i 3,4 3, 5 3,7 3,9

частота (число изделий): n_i 2 3 4 1

контролируемый размер изделий второго станка: y_i 3,2 3,4 3,6

частота: m_i. 2 2 8

Требуется при уровне значимости 2=0,01 проверить гипотезу H₀ о равенстве средних размеров M(X)=M(Y) изделий при конкурирующей гипотезе H₁: M(X)≠M(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально. Ответ: принимаем.

8. По двум независимым малым выборкам, объемы которых 12 и 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 31,2; 29,2 и исправленные дисперсии: 0,84; 0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)≠M(Y). Ответ: отвергаем.

9. По двум независимым малым выборкам, объемы которых 10 и 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 142,3; 145,3 и исправленные дисперсии: 2,7; 3,2. При уровне значимости 2=0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)≠M(Y). Ответ: принимаем.