§ 17. Числовые характеристики выборки.

Эмпирическая функция распределения

1. Для оценки стрелковой подготовки личного состава батальона было отобрано 50 человек, каждый из которых произвёл 10 выстрелов по мишени. Результаты стрельбы представлены в таблице:

Число попаданий 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Число стрелков 1 0 2 1 4 6 8 11 11 2 4

Построить полигон относительных частот; вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию. (6,48; 4,49)

2. Из 10 определений марганца требуется вычислить исправленное среднее квадратическое отклонение (ошибку) в одинаковых пробах. Получены следующие зачения (Mn, %): 0,69; 0,70; 0,67; 0,66; 0,67; 0,68; 0,67; 0,69; 0,68; 0,68. (0,01 %)

3. Для интервального статистического распределения задачи 5 вычислить моду и медиану.

4. Ниже приведены результаты измерения роста случайно отобранных 100 студентов:

Рост (см) 154-158,158-162,162-166,166-170,170-174,174-178,178-182,182-186,186-190

Число

студентов 2 8 12 22 26 14 10 5 1

Построить гистограмму относительных частот. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию. (171; 45,24)

5. При изучении примесей было изучено 10 проб вещества и получены результаты (%)

4,2 4,8 4,7 5,0 4,9 4,3 3,9 4,1 4,3 4,8.

Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение. (4,5; 0,132; 0,383)

6. Вычислить коэффициент асимметрии для распределений данных по определению кремния

а) x_i 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 (% Si)

n_i 9 11 9 5 4 2 (As=0,6)

а) x_i 5,44 5,47 5,50 5,53 5,56 (% Si)

n_i 6 9 9 8 3 (As=0,1)

§ 18. Точечные и интервальные оценки

1. Случайная величина Х (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n = 1000 пробах:

x_i 0 1 2 3 4 5 6 (кол-во семян сорняков в одной пробе)

n_i 405 366 175 40 8 4 2 (кол-во проб)

Методом моментов найти точечную оценку неизвестного параметра  распределения. (^*=0,9)

2. Найти доверительный интервал для оценки мат. ожидания при известной дисперсии =2. Доверительная вероятность =0,95. Считается, что выборка распределена нормально.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 2 1 4 6 8 11 11 2 4 (5,93; 7,03)

3. Дана выборка нормально распределённой случайной величины:

x_i -1 0 1 3

n_i 4 2 6 4

Найти доверительный интервал для оценки мат.ожидания с доверительной вероятностью =0,99 при неизвестной дисперсии.(-1,16; 2,91) (-0,231; 1,981)

4. Дана выборка нормально распределённой случайной величины:

x_i -1 0 1 3

n_i 4 2 6 4

Найти доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения с надёжностью (доверительной вероятностью) =0,90, если генеральная средняя а=1. (1,14: 2,07)

5. Оценить среднее квадратическое отклонение  с надёжностью =0,95. Считается, что распределение людей по росту является нормальным. (5,94; 7,85)

Рост (см) 154-158,158-162,162-166,166-170,170-174,174-178,178-182,182-186,186-190

Число

студентов 2 8 12 22 26 14 10 5 1

6. В ходе обследования банковских счетов была проведена случайная выборка записей по вкладам. Из выборки (n=100) оказалось, что средний размер вклада составляет 1837 д.е., среднее квадратическое отклонение размера вклада 280 д.е. Найти с надёжностью =0,95 доверительный интервал для среднего размера а вклада по всем счетам, если известно, что размер вкладов распределён по нормальному закону. (1782,12; 1891,88)

7. При анализе железной руды были найдены следующие значения: 38,71; 38.90; 38,62; 38,74. Найти с надёжностью =0,95 доверительный интервал для среднего размера а. (0,19)