Лекции / ЛЕКЦИЯ4_09

ЛЕКЦИЯ 4. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКО ВОЗДЕЙСТВИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ И ИХ СВОЙСТВА

(Сост. Никонов А.В.)

4.1 Мощность в цепях при гармоническом воздействии

Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздейст-

вием источника гармонического напряжения, в форме двухполюсника. Под воздействием напряжения u = Umsinwt в цепи будет протекать ток i = Imsin(wt

– j). Отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность:

. ()

Согласно закону Ома U = IZ, или (так как Z = R/cosj), U = RI/cosj .

Тогда P = I2R = U2G.

Таким образом, СРЕДНЯЯ ЗА ПЕРИОД МОЩНОСТЬР равна мощно-

сти, рассеиваемой на активном сопротивлении(проводимости) цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в Ваттах (Вт).

Кроме активной мощностиР в цепях гармонического тока используют понятие реактивной мощности Q = UIsinj = I2X = U2B, и комплексной мощ-

ности S& = = P + jQ = UI(cosj + jsinj) = UIejj = U& Ie–jj =U&I& .

Модуль комплексной мощности называется ПОЛНОЙ МОЩНОСТЬЮ:

(В·А).

Активная мощность равна реальной части, а реактивная – мнимой части комплексной мощности S& . А также: cosj = P/S.

Это отношение в энергетике называеКОЭФФИЦИЕНТОМтся

МОЩНОСТИ (косинусом j) и является важной характеристикой электрических

машин и линий электропередач. Чем выше cosj тем меньше потери энергии в

линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов.

Максимальное значение cosj = 1, при этом P = S; Q = 0, – т. е. цепь носит

чисто активный характер и сдвиг фаз между токомi и напряжением u равен ну-

лю.

УСЛОВИЕ ПЕРЕДАЧИ МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИот генерато-

ра в нагрузку можно найти из условия: Z& Г = Z& Н ,

где Z& Г – комплексное внутреннее сопротивление источника;

Z& Н – комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие сле-

дует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы, приведенной на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Передача мощности в нагрузку

Ток в данной цепи достигает максимума при ХГ = –ХН и выполнении ус-

ловия RГ = RН.

При этом мощность в нагрузке будет определятьсяуравнением: PНmax = uГ2/(4RГ).

По аналогии с треугольниками токов, напряжений, сопротивлений и прово-

димостей можно ввести треугольники мощностей. Так треугольники мощно-

стей для цепей, носящих индуктивный или ёмкостной характер, приведены на

рисунке 4.1.

Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармоническом воз-

действии. В силусправедливости первого и второго законов Кирхгофа для комплексных действующих значений токаI& и напряжения

ветвей рассматриваемой цепиможно записать теорему Телледжена в ком-

плексной форме:

Однако, поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряженным то-

кам I&К , то можно записать:

Это уравнение отражает баланс комплексной мощности, согласно кото-

рому сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи,

равна нулю.

Баланс комплексной мощности можно сформулировать и в другой форме:

сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками,

равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями

электрической цепи:

Из условия баланса комплексной мощности следуют условия баланса актив-

ных и реактивных мощностей:

Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает из закона со-

хранения энергии.

4.2 Последовательный и параллельный колебательные контуры и их свойства

Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или ре-

зонансными цепями.

Резонансные цепи являются составной частью многих устройств: избира-

тельные цепи, частотно-зависимые элементы автогенераторов, фильтров, других аналоговых устройств.

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкост-

ной элементы, соединенные последовательно (последовательный контур)

или параллельно (параллельный контур).

Различают два типа резонансов: напряжений и токов. В последователь-

ном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном — резонанс то-

ков. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резо-

нансной.

4.2.1 Последовательный колебательный контур

На рисунке 4.2 изображена схема последовательного контура с реактив-

ными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим поте-

ри в контуре.

Рисунок 4.2 – Последовательный колебательный контур

Приложим к контуругармоническое напряжение с частотой w. Ком-

плексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется со-

гласно уравнению:

При резонансе j = 0, что возможно, если X = w L – (1/w C) = 0. Отсюда по-

лучаем уравнение резонансной частоты w0:

На резонансной частоте комплексное сопротивлениеносит чистоак-

тивный характер, т. е. Z& = R, ток совпадает по фазе с приложенным на-

пряжением и достигает максимального значения I&0 = U&0 / R .

Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте w0 будут

равны друг другу:

Величина r носит название волнового (характеристического) сопротив-

ления контура.

Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура:

Q = r /R.

Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных контуров от

10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметраQ найдем от-

ношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и

С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные

напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряж- е

ние. Отсюда следует и термин «резонанс напряжений».

Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в эле-

менте активного сопротивленияR: реактивная мощность при резонансе не

потребляется.

4.2.1.1 Частотные характеристики и полоса пропускания последова-

тельного колебательного контура

Анализируя характер уравнений напряжений и токов вRLC-цепи, фазо-

вых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они яв-

ляются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов ХL и ХC от частоты w.

На рисунке 4.3 изображены зависимости ХL(w), ХC(w), Z(w), j (w), опреде-

Рисунок 4.3 – Зависимость сопротивлений и фазы от частоты в после-

довательном колебательном контуре

Зависимости ХL(w), ХC(w), X(w), Z(w) носят название частотных харак-

теристик параметров цепи, а зависимость j (w) – фазо-частотной характе-

ристики (ФЧХ).

Из представленных характеристик следует, что при w < w0 цепь имеет ем-

костной характер (Х < 0; j < 0) и ток опережает по фазе приложенное напряже-

ние;

при w > w0 характер цепи индуктивный (X > 0; j > 0) и ток отстает по фа-

зе от приложенного напряжения;

при w = w0 наступает резонанс напряжений (X = 0; j = 0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при этом минимальное значение Z = R.

Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти:

Анализ зависимости I(w ) показывает, что она достигает максимума при

резонансе w = w0: I0 = U/R.

При w = w0 имеем:

Важной характеристикой колебательного контура является полоса про-

пускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резо-

нанса, на границе которой ток снижается в2 раз относительно I0 (рису-

нок 4.4).

Абсолютная полоса пропусканияD fA определяется как разность гра-

ничных частот f2 и f1:

Это уравнение может быть положено в основу экспериментального опреде-

ления добротности по АЧХ. Чем выше добротность Q, тем меньше полоса пропускания и наоборот.

Причем, поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то

подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутре-н

ним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.

4.2.2 Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R1 и

R2 имеет вид, изображенный на рисунке 4.5а.