
Лекции / ЛЕКЦИЯ4_09
.pdf
ЛЕКЦИЯ 4. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКО ВОЗДЕЙСТВИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ И ИХ СВОЙСТВА
(Сост. Никонов А.В.)
4.1 Мощность в цепях при гармоническом воздействии
Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздейст-
вием источника гармонического напряжения, в форме двухполюсника. Под воздействием напряжения u = Umsinwt в цепи будет протекать ток i = Imsin(wt
– j). Отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность:
. ()
Согласно закону Ома U = IZ, или (так как Z = R/cosj), U = RI/cosj .
Тогда P = I2R = U2G.
Таким образом, СРЕДНЯЯ ЗА ПЕРИОД МОЩНОСТЬР равна мощно-
сти, рассеиваемой на активном сопротивлении(проводимости) цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в Ваттах (Вт).
Кроме активной мощностиР в цепях гармонического тока используют понятие реактивной мощности Q = UIsinj = I2X = U2B, и комплексной мощ-
ности S& = = P + jQ = UI(cosj + jsinj) = UIejj = U& Ie–jj =U&I& .
Модуль комплексной мощности называется ПОЛНОЙ МОЩНОСТЬЮ:
|
& |
|
|
2 |
2 |
|
|
S = |
= |
|
P |
+ Q . |
() |
||
S |
|
||||||
Единица |
измерения реактивной и |
полной мощности– Вольт × Ампер |
(В·А).

Активная мощность равна реальной части, а реактивная – мнимой части комплексной мощности S& . А также: cosj = P/S.
Это отношение в энергетике называеКОЭФФИЦИЕНТОМтся
МОЩНОСТИ (косинусом j) и является важной характеристикой электрических
машин и линий электропередач. Чем выше cosj тем меньше потери энергии в
линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов.
Максимальное значение cosj = 1, при этом P = S; Q = 0, – т. е. цепь носит
чисто активный характер и сдвиг фаз между токомi и напряжением u равен ну-
лю.
УСЛОВИЕ ПЕРЕДАЧИ МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИот генерато-
ра в нагрузку можно найти из условия: Z& Г = Z& Н ,
где Z& Г – комплексное внутреннее сопротивление источника;
Z& Н – комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие сле-
дует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы, приведенной на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 – Передача мощности в нагрузку
Ток в данной цепи достигает максимума при ХГ = –ХН и выполнении ус-
ловия RГ = RН.

При этом мощность в нагрузке будет определятьсяуравнением: PНmax = uГ2/(4RГ).
По аналогии с треугольниками токов, напряжений, сопротивлений и прово-
димостей можно ввести треугольники мощностей. Так треугольники мощно-
стей для цепей, носящих индуктивный или ёмкостной характер, приведены на
рисунке 4.1.
Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармоническом воз-
действии. В силусправедливости первого и второго законов Кирхгофа для комплексных действующих значений токаI& и напряжения
ветвей рассматриваемой цепиможно записать теорему Телледжена в ком-
плексной форме:
m |
Ik = 0 . |
() |
åU k |
||
& |
& |
|
k =1 |
|
|
Однако, поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряженным то-
кам I&К , то можно записать:
. |
() |
Это уравнение отражает баланс комплексной мощности, согласно кото-
рому сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи,
равна нулю.
Баланс комплексной мощности можно сформулировать и в другой форме:
сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками,

равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями
электрической цепи:
. |
() |
Из условия баланса комплексной мощности следуют условия баланса актив-
ных и реактивных мощностей:
; |
. |
() |
Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает из закона со-
хранения энергии.
4.2 Последовательный и параллельный колебательные контуры и их свойства
Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или ре-
зонансными цепями.
Резонансные цепи являются составной частью многих устройств: избира-
тельные цепи, частотно-зависимые элементы автогенераторов, фильтров, других аналоговых устройств.
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкост-
ной элементы, соединенные последовательно (последовательный контур)
или параллельно (параллельный контур).

Различают два типа резонансов: напряжений и токов. В последователь-
ном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном — резонанс то-
ков. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резо-
нансной.
4.2.1 Последовательный колебательный контур
На рисунке 4.2 изображена схема последовательного контура с реактив-
ными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим поте-
ри в контуре.
Рисунок 4.2 – Последовательный колебательный контур
Приложим к контуругармоническое напряжение с частотой w. Ком-
плексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется со-
гласно уравнению:
& |
() |
Z = R + jX = R + j(w L – 1/w C), |
& |
& & |
& |
||
а ток в контуре уравнением I |
= U / Z = U / (R + jX ). |
|||
Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением |
||||
j = arctg |
wL - 1 / wC |
= arctg X/R . |
() |
|
|
||||
|
R |
|
|
При резонансе j = 0, что возможно, если X = w L – (1/w C) = 0. Отсюда по-
лучаем уравнение резонансной частоты w0:

w = w0 = 1 / LC . |
() |
На резонансной частоте комплексное сопротивлениеносит чистоак-
тивный характер, т. е. Z& = R, ток совпадает по фазе с приложенным на-
пряжением и достигает максимального значения I&0 = U&0 / R .
Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте w0 будут
равны друг другу:
XL0 = XC0 = w0L = 1/(w0C) = |
L |
= r . |
() |
|
|||
|
C |
|
Величина r носит название волнового (характеристического) сопротив-
ления контура.
Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура:
Q = r /R.
Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных контуров от
10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметраQ найдем от-
ношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и
С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
UL0/U = UC0/U = (I0w0L)/U = I0/(w0CU) = r/R = Q . |
() |
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные
напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряж- е
ние. Отсюда следует и термин «резонанс напряжений».

Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в эле-
менте активного сопротивленияR: реактивная мощность при резонансе не
потребляется.
4.2.1.1 Частотные характеристики и полоса пропускания последова-
тельного колебательного контура
Анализируя характер уравнений напряжений и токов вRLC-цепи, фазо-
вых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они яв-
ляются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов ХL и ХC от частоты w.
На рисунке 4.3 изображены зависимости ХL(w), ХC(w), Z(w), j (w), опреде-
ляемые формулами: |
|
|
ХL(w) = wL; ХC(w) = 1/(wC); Х(w) = wL – 1/wC; |
() |
|
Z(w) = |
, |
() |
j (w) = arctg{[wL – 1/(wC)]/R}. |
() |

Рисунок 4.3 – Зависимость сопротивлений и фазы от частоты в после-
довательном колебательном контуре
Зависимости ХL(w), ХC(w), X(w), Z(w) носят название частотных харак-
теристик параметров цепи, а зависимость j (w) – фазо-частотной характе-
ристики (ФЧХ).
Из представленных характеристик следует, что при w < w0 цепь имеет ем-
костной характер (Х < 0; j < 0) и ток опережает по фазе приложенное напряже-
ние;
при w > w0 характер цепи индуктивный (X > 0; j > 0) и ток отстает по фа-
зе от приложенного напряжения;
при w = w0 наступает резонанс напряжений (X = 0; j = 0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при этом минимальное значение Z = R.
Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти:
I ( w ) = U / R2 + (wL - 1 / wC )2 . |
() |

Действующие значения напряжений на реактивных элементахможно |
||||||||||
найти согласно закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
UwL |
|
|
. |
|
|
() |
|
UL(w) = I(w)XL(w) = |
|
1 |
ö2 |
|
|
|||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R2 + çwL - |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
wC ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
UC(w) = I(w)XC(w) = wC R 2 + (wL -1/ wC)2 |
. |
|
|
() |
||||||
Зависимости I(w), UL(w), UC(w) называются амплитудно-частотными |
||||||||||
характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансны- |
||||||||||
ми характеристиками, (рисунок 4.4). |
|
|
|
|
|
|
||||
U, I |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
||
UC( |
) |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
UQ |
|
|
UL( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,707I0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I( |
) |
|
|
|
|
|
|
0 |
wC |
w |
w |
w |
0 |
f1 |
f0 |
f2 |
f |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рисунок 4.4 – АЧХ и полоса пропускания последовательного колеба- |
||||||||||
|
|
|
тельного контура |
|
|
|
Анализ зависимости I(w ) показывает, что она достигает максимума при
резонансе w = w0: I0 = U/R.
При w = w0 имеем:

UL(w0) = UL0 = UC0 = I0r = UQ. |
() |
Важной характеристикой колебательного контура является полоса про-
пускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резо-
нанса, на границе которой ток снижается в2 раз относительно I0 (рису-
нок 4.4).
Абсолютная полоса пропусканияD fA определяется как разность гра-
ничных частот f2 и f1:
D fA = f2 – f1 = f0/Q; |
() |
Это уравнение может быть положено в основу экспериментального опреде-
ления добротности по АЧХ. Чем выше добротность Q, тем меньше полоса пропускания и наоборот.
Причем, поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то
подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутре-н
ним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.
4.2.2 Параллельный колебательный контур и резонанс токов
Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R1 и
R2 имеет вид, изображенный на рисунке 4.5а.