5. Ограничения
Для формирования множества вариантов объекта, на котором производят поиск оптимального решения, необходимо правильно разработать и учесть различные ограничения. Ограничения математически выражают те или иные связи, наложенные на объект оптимизации, и могут быть записаны в виде равенства:
= 0 (5.1)
или в виде неравенства:
0 , 0 (5.2)
или в виде нестрогого неравенства:
0
,
0,
(5.3)
где - некоторая функция от параметров, которая так же, как и критерии качества, может быть задана либо аналитическим выражением, либо замкнутым алгоритмом определения.
Введение ограничений позволяет учесть реальные условия и изготовления и функционирования объекта оптимизации с тем, чтобы оптимизация была физически осуществима.
Ограничения на параметры часто задают в виде диапазонов значений параметров либо в виде совокупности их дискретных значений, либо в форме строгих или нестрогих неравенств.
Так, при поиске оптимальной высоты h0 сечения коробчатой балки мостового крана необходимо ввести ограничение = h0 – [h] 0, где [h] – наибольшая высота балки, допустимая при условии вписывания крана в габариты строительной конструкции здания, где он должен работать, либо по условиям перевозки по железной дороге.
Для сочлененных стрел портальных кранов (см. рис.2.3,б) можно записать следующие ограничения на параметры :
1=Х1 - R=0 ; 2=Х3 – H 0 ; 3=X2 - R1 0 ; 4=X9 –A1 ;
5=X9 – A2 0 ; 6=X8 – D1 0 ; 7=X8 – D2 0 ; 8=X6 - 0 .
Здесь в ограничениях 1= 0 и 2 R – диапазон изменения вылета; H – наименьшая необходимая высота подъема груза над корнем стрелы; эти величины предписываются проектным заданием, и ограничения являются директивными. В ограничениях 3 0, R1 – значение параметра Х2 , минимально допустимое из условия размещения груза под стрелой. В ограничениях (4 0 ; 5 0 ) и (6 0 , 7 0 ) параметры Х9 и Х8 соотносятся с предельно допустимыми верхними и нижними значениями (А1, А2 ) и (D1,D2) .
В ограничении 6 0 - минимально необходимое значение угла установки хобота из условия отклонения грузовых канатов от вертикали в плоскости качания стрелы. Ограничения типа 3 . . . 8 являются компоновочными (конструктивными) и записываются на основе анализа существующих машин и опыта проектирования и эксплуатации.
В приведенных примерах ограничения в виде равенства или неравенства, как правило, могут быть явно разрешены относительно тех или иных параметров. Часто встречаются ограничения, неразрешимые в явном виде относительно параметров. Примерами могут быть уравнения совместности деформаций (например, канонические уравнения метода сил) при оптимизации статически неопределенных систем, условия замкнутости или условия проворачиваемости при оптимизации шарнирных механизмов и т.д.
Ограничения по прочности при оптимизации коробчатых сечений крановых металлических конструкций. Проектировочный расчет крановых конструкций обычно производят на прочность от наибольших нагрузок II расчетного случая по их расчетным комбинациям. Для стрел поворотных кранов принимают следующие комбинации нагрузок:
IIа - вес конструкции, вес груза при коэффициенте динамичности II (работает механизм подъема);
IIb1 или IIb2 – вес конструкции, вес груза, грузовые канаты отклонены от вертикали на угол II в плоскости качания стрелы в сторону увеличения вылета (IIb1) или его уменьшения (IIb2) (неустановившееся движение механизма изменения вылета);
IIс – вес конструкции, вес груза, канаты отклонены от вертикали на угол II перпендикулярно плоскости качания стрелы (неустановившееся движение механизма поворота).
Ограничение по прочности для наихудшей из комбинаций IIа , IIb1 или IIb2 :
1 = Мz 1 /Wz + N1/ F – [] 0 ;
по комбинации IIc : 2 = Mz 2 /Wz + My 2 / Wy + N2 / F – [] 0 .
Здесь Мz 1 , N1 - вертикальный изгибающий момент и сжимающая сила в сечении по наихудшей комбинации нагрузок в плоскости качания стрелы; Mz 2 , N2 – вертикальный и горизонтальный изгибающие моменты и сжимающая сила по комбинации нагрузок, включающей боковые нагрузки; Wz , My , F - моменты сопротивления и площадь сечения; [] – допускаемое напряжение.
В более полной постановке задачи вводят также ограничения по местной устойчивости поясов и стенок, в составе сечения учитывают ребра жесткости и вводят ограничения на их размещение и количество, предписывают соответствие толщин листов сортаменту и т. д.
Ограничения на критерии качества обычно задаются в виде неравенств и относятся к критериям качества, дополнительно учитываемым при оптимизации по выработанной целевой функции. Примеры таких ограничений: по прогибу и времени затухания колебаний при оптимизации параметров крановых мостов, по отклонению траектории груза от горизонтали и грузовому неуравновешенному моменту при оптимизации стреловых систем кранов и т.д. В таких случаях иногда говорят, что дополнительные критерии качества переведены в разряд ограничений.
Каждое ограничение в виде равенства, накладываемое на параметры или критерии качества, уменьшает на единицу размерность задачи оптимизации, т. е. число параметров, определяемых из условия экстремума целевой функции. Если число параметров равно числу ограничений в виде равенства, то оптимизация сводится к решению системы ограничений относительно всех параметров; если ограничения совместны, то решение существует, а если несовместны, то решения нет. Если число n –параметров больше числа m независимых ограничений в виде равенства, то возможно оптимальное определение (n – m) параметров. Наконец, если число независимых ограничений в виде равенства превышает число параметров, то также возможна оптимизация, однако это является особым, не рассматриваемым здесь случаем и требует специальных подходов к формированию целевой функции.