3. Параметрическая и структурная оптимизация

Задачи оптимального проектирования можно разделить на два класса.

К первому классу относятся задачи, в которых структура объекта считается заданной и речь идет лишь об определении числовых значений параметров, свойственных данной структуре. Такие задачи называют задачами параметрической оптимизации. К ним относятся, например, оптимизация или сочлененных стрел, или коробчатых сечений металлических конструкций, или рамных двухстоечных порталов и т.д. Во всех этих случаях тип объекта, его структура определены и в ходе оптимизации остаются неизменными (сочлененная стрела, коробчатое сечение, рамный двухстоечный портал и т.д.). Методология решения таких задач будет рассмотрена далее.

Ко второму классу принадлежат задачи, в которых предметом оптимизации являются не только параметры, но и структура объекта. Примеры таких задач: выбор оптимального типа стрелового устройства для заданных условий (сочлененная стрела, прямая стрела с уравнительным полиспастом, прямая стрела с уравнительным блоком или еще какая-либо структура стрелового устройства) или оптимального типа металлической конструкции стрелы (коробчатая, трубчатая, шпренгельная и т.д.), или оптимального типа портала (рамный четырехстоечный, рамный двухстоечный: рамно-раскосный и т.д.). Такие задачи называют задачами структурной (структурно-схемной) оптимизации.

Практикой выработаны два принципиально различных подхода к решению задач структурно-схемной оптимизации: метод последовательного исследования множеств и метод оптимального проектирования с автоматическим поиском схем.

Согласно методу последовательного исследования множеств вначале на основе имеющегося опыта отбирают ограниченное число перспективных структур объекта, каждая из которых может быть описана своей совокупностью параметров. Далее последовательно проводят параметрическую оптимизацию каждой структуры (исследуют множество вариантов, реализующих данную структуру). Наконец, полученные оптимальные варианты сравнивают между собой и из них выбирают наилучший, принимая его за окончательное оптимальное решение задачи.

При автоматическом поиске схем вместо пространства параметров, описывающего известную конкретную структуру, вводят так называемое универсальное пространство параметров (УПП), в котором можно описать любую допустимую структуру - как известную, так и неизвестную. Параметрическая оптимизация, проводимая далее в этом УПП, является одновременно структурной оптимизацией, так как в результате решения мы получаем ответ на вопрос о наилучшей структуре оптимизируемого объекта. При этом могут быть получены и изобретательские (эвристические) решения. Способ задания УПП должен позволять описать любую допустимую форму; непрерывно переходить от одной схемы к другой; локально управлять изменением формы, оставляя часть ее неизменной.

Поясним это примером. Коробчатое сечение изгибаемой конструкции (рис.2.5,а) описывается четырьмя параметрами (Х₁ . . . Х₄), сечение трубы (рис.2.5б) - двумя (Х₅,Х₆), сечение по рис.2.5,в - шестью параметрами (Х₁ . . . Х₆), образующими УПП, которое охватывает конструкции коробчатого (см. рис.2.5,а), круглого (рис.2.5,б) и произвольного сечений (заметим, что число параметров в УПП не обязательно должно быть равно сумме чисел параметров структур, объединяемых этим УПП).

Рис.2.5. Варианты описания замкнутых тонкостенных сечений

Если критерии качества (например, площадь сечения) и ограничения (например, условия прочности, включающие моменты сопротивления) выражены через Х₁ ... Х₆ (см. рис.2.5,в), то, найдя из решения задачи оптимизации оптимальные значения Х₁ ... Х₆, мы тем самым установим и оптимальную форму сечения, т.е. оптимальную структуру объекта. Так, если окажется, что в оптимальном случае Х₅=0 , Х₆=0, то оптимальной формой будет коробчатое сечение; сочетание Х₄=Х₂=2Х₅ , Х₁=Х₃=2Х₆ соответствует сечению круглой трубы.

В более сложных случаях применение метода, основанного на УПП, сопряжено с большими техническими трудностями, в частности, требует большого объема памяти компьютера. Для оптимального проектирования подъемно-транспортных машин и их узлов более перспективным представляется метод последовательного исследования множеств.

Для формирования множества вариантов объекта, на котором производится поиск оптимального решения, необходимо правильно разработать и учесть различные ограничения. Они могут быть записаны в виде системы уравнений

h_к (X) = 0, k = 1,2, . . . К, (3.1) или неравенств

d_l (X)  0, l = 1,2, . . . L, (3.2) а также ограничений сверху и снизу

i = 1,2, . . . N. (3.3)

Введение ограничений позволяет учесть реальные условия изготовления и функционирования объекта оптимизации с тем, чтобы оптимизация была физически осуществима.

Задача общего вида - минимизировать q (X) при ограничениях (3.1) - (3.2) - называется задачей условной оптимизации. Задача, в которой нет ограничений, называется оптимизационной задачей без ограничений, или задачей безусловной оптимизации.

Задачи оптимизации можно классифицировать в соответствии с видом функций q, h_к, d_l и размерностью вектора X. Задачи без ограничений, в которых Х представляет собой одномерный вектор, называются задачей с одной переменной и составляют простейший подкласс оптимизационных задач. Задачи условной оптимизации, в которых функции h_к и d_l являются линейными, носят название задач с линейными ограничениями. В таких задачах целевые функции могут быть либо линейными, либо нелинейными. Задачи, которые содержат только линейные функции вектора непрерывных переменных X, называются задачами линейного программирования; в задачах целочисленного программирования компоненты вектора X должны принимать только целые значения.

Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями иногда называют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций: задачи квадратичного, дробно-линейного программирования и т.д.

Деление оптимизационных задач на классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.

Отметим, что применение методов линейного программирования оказалось плодотворным для различных задач оптимального управления нединамическими системами (оптимальное размещение оборудования, организация транспортных потоков и др.). При решении задач оптимального проектирования специальных кранов используются аналитические методы и отдельные методы нелинейного программирования.