Деякі загадки, або привхідні питання арифметики

Майже всі правила, викладені вище, ми супроводили відповідними прикладами. І тому бажано тепер додати ще кілька цікавих загадок, які допомогли б закріпити матеріал як численними прикладами, так і систематичним впертим тренуванням. Ти тільки добре обміркуй, яке правило дасть тобі можливість розв’язати ту чи іншу загадку. Отже, нехай першою загадкою буде те висловлене віршами питання, яке наводить Гемма Фрізій ²⁴, запозичивши його в Йоахіма Геллера: /41/

1-ша ЗАГАДКА

Acer in Aemonia fugientem valle Lycisca

Insequitur leporem picta per arva vagum,

Ніс decies quinis praecedit saltibus ille

Instat et exultans per iuga lacta ruit.

Dumque quater saliendo lepus consurgit in altum,

Ніс toties teneris saltibus evehitur

Ac tantam geminis percurrit saltibus agri,

Interea quantum conficit ille tribus.

Dic mihi iam, quoties saltus iterante Lycisca

Contigit infesto praeda petita cani? ²⁵

Тут, як ти бачиш, слід застосувати пряме золоте правило, адже стоїть таке питання: коли заєць робить 3 стрибки, собака робить 2. Отже, скільки зробить стрибків собака за той час, за який заєць зробив 15?

Обчисливши це, ти побачиш, що собака зробив 10 стрибків, щоб наздогнати зайця.

Друга загадка, Евклідова, перекладена латинською мовою Філіппом Меланхтоном ²⁶. Вміщено її у Гемми Фрізія:

2-га ЗАГАДКА

Mulae asinaeque duos imponit servulus utres,

Impletos vino, segaemque ut videt asellam

Pondere defessam vestigia figere tarda,

Mula rogat: «Quid cara parens cunctare gemisque?

Unam ex utre tuo mensuram si mihi reddas,

Duplum oneris tunc ipsa feram, sed si tibi tradam

Unam mensuram, fient aequalia utrique

Pondera». Mensuras dic, docte geometer, istas ²⁷.

Тут доречно буде застосувати правило «хибного припущення». Уяви собі, що мул має 5 мір вина, — отже, ослиця \66\ має 4, бо, якщо відняти 1 від 4 І додати до 5, то залишиться 3, а тут буде 6, тобто вдвічі більше, ніж там залишилося. Проте, коли від 5 відняти 1 і додати до 4, то обидва числа не будуть однаковими, бо тут буде 5, а там 4, тобто на 1 менше, ніж 5. Значить, це було неправильне припущення. Тоді запиши собі 5 — перше гіпотетичне невірне число і 1, яка є нестачею до шуканої рівності. Після цього зроби друге припущення: признач нулеві нести будь-яке інше число мір, наприклад 9. Отже, ослиця матиме 6, бо, якщо 1 відняти від 6 І додати до 9 — буде 10, а залишиться б, що складає половину 10. Проте, якщо 1 відняти від 9 і додати до 6, знов два числа не будуть рівними, бо тут буде 7 /41зв./, а там 8, тобто на 1 більше, ніж треба для їх рівності. І це припущення теж було «хибним». Після цього запиши тут також число 9 і надлишок її і виконуй дію за вказаним вище способом, а саме: додай 9 до 5, — одержиш 14, додай також 1 і1 — буде 2, розділи 14 на 2, — вийде частка 7. Отже, 7 мір несе мул, а звідси можна зробити висновок, що ослиця несе 5, бо, якщо від 5 відняти 1 і додати її до 7, — буде 8, а там 4, тобто половина в. І знову-таки, якщо 1, яку ми відняли від 7, додати до 5, то обидва числа будуть однакові ²⁸.

Оскільки перевірка ²⁹ всіх задач під час лекцій потребує багато часу, я пропоную, щоб кожен з вас ось ці останні загадки розв’язав самостійно.

Таким чином, нехай далі буде 3-тя загадка.

3-тя ЗАГАДКА.

Розповідають, що Олександр Великий ³⁰ задав таке запитання філософу Каллісфену ³¹ щодо віку своїх) і своїх двох друзів — Ефестіона і Кліта: «Я, — сказав він, — старший від мого Ефестіона на 2 роки, а Кліт старший від нас обох, разом узятих, на чотири роки». Цю загадку Каллісфен розв’язав за допомогою іншої загадки, сказавши: «Цим питанням лро вік свій і своїх друзів, о царю, ти викликав у мене згадку про мого батька, якому було 96 років, тобто стільки, скільки вам усім трьом разом».

Питається, скільки років було в той час Олександру, Ефестіону і Кліту.

За допомогою правила «хибного припущення» ми знайдемо, що Ефестіону було 22 роки, Олександру — 24, Кліту — 50: адже, якщо скласти це в одну суму, то ми одержимо 96 років. \67\

4-та ЗАГАДКА

Крім того, цікавим і дуже легким є відгадування будь-якого невідомого тобі місця в якомусь ряду, коли, наприклад, на вечірці хто-небудь з гостей сховає якусь річ, і людину, яка цього не бачила, спитають, хто саме з гостей її сховав. Тобі не важко буде дізнатися про це за допомогою додавання, множення, ділення і віднімання. Однак не завжди слід застосовувати всі ці дії, можна обмежитися лише деякими з них за своїм вибором. Робиться це так: спочатку запропонуй, щоб гості не порушували порядку, а сиділи так само, як і раніше; потім скажи, щоб до числа невідомого місця додали інше число, яке ти назвеш за своїм бажанням, наприклад, 5. Це останнє число накажи помножити само на себе і до добутку знов додати будь-яке інше число, нехай це буде 36, а від усієї суми відняти яке-небудь число, наприклад, 7. Потім спитай, яку різницю одержали вони після віднімання, адже треба знати, яка в тебе утворилася /42/ сума наприкінці, лісля дій з усіма числами без урахування числа, що позначає невідоме місце, бо, якщо цю суму ти відкинеш від останнього результату, названого приятелями, то різниця вкаже тобі місце й приятеля, що сидить на тому місці, про яке тебе запитали. І коли останній результат після всіх дій з цим задуманим числом, а саме після віднімання 7, буде 54, то, якщо, наприклад, третій, що сидить в цьому ряду, заховав якусь річ, тобі назвуть як останній результат — 57. Якщо від 57 відняти твоє число, тобто 54, то залишиться число 3, і воно визначить тобі невідомого. Якщо взяв би цю річ 20-й, тобі назвали б 74 як останній результат; якщо ти відкинеш від нього 54, — залишиться 20 і т. д. Між іншим, зверни увагу на те, що перше число, яке ти наказав додати, не можна множити само на себе або на інше разом з доданим до нього невідомим числом, а тільки його окремо, і так продовжуй далі. Вся таємниця тут полягає в тому, що людина, яка задає питання, сама вказує тобі невідоме число, але завдяки різним твоїм хитрощам і маневруванням не помічає, що робить це. Якщо ж ти сам схотів або наполягав на цьому, запитуючи, щоб твої числа множилися і складалися разом з задуманим ним невідомим числам, то ти легко досягнеш цього за допомогою такого окремого питання: по-перше, накажи подвоїти невідоме тобі число, потім додати 5, після того все це помножити на б, а добуток знов помножити на 10 і спитай, який вийшов результат. Коли ти віднімеш від нього 260, то перший знак зліва в одержаній різниці покаже задумане невідоме число. Ти міг би і сам створити також інші варіанти загадок і, користуючись тим самим способом обчислення, міг би відгадати будь-яке задумане кимсь число.\68\

5-та ЗАГАДКА

Не менш легкою, але набагато цікавішою є ось ця інша загадка, яка, крім того, викликає у не обізнаних людей велике здивування. Нехай, наприклад, треба відгадати, хто з гостей, що сидять у певному порядку, взяв перстень і на яку руку, на який палець і на який суглоб цей перстень наклав. Здається, що про де взагалі неможливо дізнатися. Отже, накажи, щоб усі сиділи в такому самому порядку, як і раніше, не порушуючи його. Потім запропонуй подвоїти порядковий номер тієї особи і до цього подвоєного числа додати 5. Все ще слід помножити на 5, а потім до добутку додати число, що позначає руку: 1, якщо це права рука, 2 — якщо ліва. Одержане число знову-таки накажи помножити на 10 і до добутку додати порядковий номер пальця. Ця сума множиться на 10 і до добутку додається число, що позначає суглоб. Після цього скажи, щоб тобі назвали цей останній результат, /42зв./ і відніми від нього 2500. — різниця своїми окремими знаками вкаже тобі всі ті предмети, про які йшлося в запитанні. Так, перший знак зліва вкаже особу, другий — руку, третій — палець, четвертий — суглоб. Так само можна ставити і розв’язувати питання і щодо інших предметів. Якщо ти хочеш довідатися, в якому році від Різдва Христового, ,в якому місяці, якого дня, о котрій годині, о котрій чверті щось відбу- , валося. Зверни тільки увагу на те, щоб число, яке ти віднімаєш, завжди починалося, якщо рахувати зліва, з двох значущих цифр — 2 і 5, а останніми знаками щоб були нулі. І в цілому має бути стільки всіх знаків, скільки задумано предметів, про які запитується в загадці. Так, в попередній загадці згадувалося п’ять предметів: рік, місяць, день, година, чверть, і таму від загального результату, одержаного після всіх дій, слід відняти 25 000, тобто п’ять знаків. Таким чином, ніколи не треба поширювати значущу частину числа, а тільки ту, що складається з нулів.

6-та ЗАГАДКА

До цього необхідно додати також проблему Арістотеля, бо, хоч вона і не зовсім стосується арифметики, проте в ній йдеться про числа. Арістотель запитує: «Чому всі люди, як варвари, так і греки, воліють рахувати до 10, а не до якогось іншого числа, як, наприклад, до 2-х, в-х, 4-х, 5-ти. І знову-таки, не виходячи за межі 10-ти, як, наприклад, до 11-ти, 12-ти, всі повертаються потім до початку. І хоч яке завгодно число містить у собі попереднє число і, крім того, одну або будь-яку іншу кількість одиниць, але число 10 є ніби першою встановленою для чисел межею. А що це зроблено \69\ було не навмання і не випадково, видно з того, що жоден народ ніколи не вживав для цього іншого числа. Адже те, що завжди робиться за спільним розсудом усіх людей, робиться не випадково, а підказується природою речей. Пояснюють це по-різному:

1) десятці віддають перевагу або тому, що вона містить у собі всі види чисел: парне, непарне, квадратне, кубічне, лінійне, площинне, просте, складне;

2) або через те, що число 10 є початком або основою всіх чисел, адже виникло воно з 1, 2, 3 і 4, об’єднаних в одну суму;

3) або тому, що це число, згідно з природою речей, гармонійно склалося з 9 рухомих тіл;

4) або тому, що в 10 аналогічних [відповідностях] містяться ніби 4 кубічні числа, з яких, на думку піфагорійців, побудований весь наш Всесвіт;

5) або з тієї причини, що природа дала кожній людині по 10 пальців, звелівши, щоб усі останні предмети розподілялися так само, /43/ згідно з їх кількістю і обчислювалися ними, ніби вони є відповідні до чисел своєрідні рахувальні камінці.

І лише у фракійців існує якесь плем’я, яке, рахуючи, не виходить за межі 4, тому що, подібно до дітей, вони не можуть надовго запам’ятати щось і не ділять свої речі на численні частини». Так вважав Арістотель ³², а з усіх його міркувань найвірогіднішим є останнє, в якому він найближче підходить до суті справи.

7-ма ЗАГАДКА

Не забудьмо згадати також один хитромудрий, я б сказав, жарт, придуманий ,на підставі якогось дивного таємничого порядку розміщення, який люди іноді називають приреченням (долею). Так, існує притча про те, що колись пливли християни разом з юдеями на одному кораблі, — всіх людей було там багато, але тих і других порівну. І ось, як це часто буває, несподівано почалася буря, і корабель почав тонути. Тоді, підбурювані забобонами або релігійними переконаннями, всі зійшлися на тій думці, що треба всім вишикуватися в одну спільну шеренгу, і як християн, так і юдеїв, на яких припадатиме певне порядкове число, викинути з корабля в море, і робити так доти, доки залишиться половина всіх людей, а друга половина загине. Вирішили вишикувати в шеренгу 30 чоловік, від кожного народу по 15, і спочатку призначили викинути кожного десятого. І ось якийсь християнин, обдарований великим розумом і винахідливістю, в такому порядку \70\ розмістив християн впереміж з юдея’ми, що кожний десятий обов’язково був юдеєм, а не християнином.

Отже, під час першого жеребкування загинули всі 15 юдеїв, а всі християни залишилися живими. Під час другого жеребкування юдеї відмовилися довірити свою долю числу 10, а наполягали на тому, щоб загинув кожний дев’ятий. Але той самий чоловік знав розмістив їх так, що всі дев’яті номери припали на юдеїв. Так само було, коли після цього він призначив до загибелі восьмого, а потім сьомого і шостого. І так були потоплені всі юдеї.

Для такого роду розміщень складені віршики, в яких слід звернути увагу на окремі головні, і християни та юдеї мають бути поперемінно розміщені під тим порядковим номером, яким позначають окремі голосні в ряді голосних ³³. Це такі вірші (починається з християн): /43зв./

Для того, щоб викинули десятого:

Réx Angli, cum génte bóna dát signá seréna.

Для дев’ятого:

Pópuleám virgam mater regina tenebat.

Для восьмого:

Áureá matré dea genitos admitte leones. Falsus est ³⁴.

Для сьомого:

Martia martigenis intentat tempore famam. Falsus hic etiam ³⁵.

Для шостого:

Hasta ferit miseras, teneras deponit alauclas,

Цього досить для розваги, а тепер вже перейдемо до серйозних питань. \71\