Про правило «хибного припущення»

1. Це правило називається правилом «хибного» або «помилкового припущення» не тому, що воно вчить про помилки, а тому, що вказує, як від помилкового, хибного припущення прийти до правильного розв’язання. І це, безперечно, чудове правило, бо за його допомогою можна розв’язати найскладніші питання. Адже воно дає змогу відшукати будь-яке невідоме число не лише з відомих чисел, як це буває при золотому правилі, а й з невідомих чисел. І робиться це теж за допомогою золотого правила. Щоб краще зрозуміти застосування цього правила, поставимо таке питання: «Троє людей разом мають певну грошову суму, проте сума грошей кожного з них нехай буде мені невідома, а відома лише спільна сума кожних двох. Наприклад, перший з них каже, що його гроші разом з (грішми другого складають 50 золотих, другий каже, що його гроші разом з грішми третього становлять 70 золотих, і, нарешті, третій /39/ каже, що його гроші разом з грішми першого становлять 60 золотих. Виникає питання, яку грошову суму має кожен з них». Спочатку припусти, що перший має якусь певну суму грошей, яку ти встановиш навміання за своїм власним розсудом, і додай до неї стільки, скільки треба, щоб одержати зазначену тут спільну суму першого і другого. Це додане тобою число і буде сумою другого. Потім до цього останнього числа додай знову стільки, скільки треба, щоб одержати вказану тут суму другого і третього, разом узятих, — і це друге додане число буде грошовою сумою третього. Якщо воно разом з сумою першого утворить зазначену вище спільну суму, значить ти випадково, без усякого обчислення, натрапив на істину ²¹.

Так, наприклад, яищо у відповідь на поставлене питання ти скажеш, що перший має 20 золотих, то додай до них 30, бо цей доданок утворить спільну суму грошей першого і другого, а саме 50. І це додане тобою число 30 буде грошовою сумою другого. Додай так само до 30 золотих 40, адже стільки потрібно додати, щоб вийшло 70, тобто зазначена сума грошей другого і третього. Це додане число, а саме 40 буде грошовою сумою третього. Склади цю грошову суму третього з грошовою сумою першого, і, якщо вийде вказана сума, значить, ти випадково вже знайшов те, що шукав. Як у даному \62\ прикладі, 40 і 20 складають 60, що й було зазначеною сумою третього і першого. Отже, можеш відповісти: перший має 20, другий — 30, третій — 40. Однак це, як я вже казав, ми зробили би без всяких обчислень. І все-таки спочатку таке припущення слід робити для того, щоб навіть у випадку, коли ти не вгадаєш дійсного числа, ти мав би таке «хибне припущення», за допомогою якого міг безпомилково встановити дійсне число. Розповімо, у який спосіб це робиться.

2. Якщо ти одразу не натрапив випадково на дійсне число (а це виявиться при складанні сум першого і другого, другого і третього, третього і першого, а саме: якщо сума третього, приєднана до суми першого, буде менша або більша за вказану вище суму першого і третього), тоді треба застосувати правило «хибного припущення», яке містить у собі такі дві настанови:

1. Для розв’язання вказаного питання візьми знову-таки навмання ще якесь інше число і перевір його тим самим способом, як і раніше. Яищо й це друге припущення виявиться неправильним, ти матимеш вже два помилкові припущення У кожному з ник додивись, на скільки спільна сума третього і першого, одержана після підрахунку, відрізняється від зазначеної вище суми першого і третього, або перевищуючи її, або не досягаючи її ріння. /39зв./ Так, якщо у поставленому тут питанні ти припустиш, що шуканим числом є 30, то другий матиме 20, третій — 50. Проте ця сума третього разом з сумою першого — 30 дасть 80, а не 60, як було зазначено. Отже, ти бачиш, що тут об’єднана сума третього і першого вийшла більшою, ніж та, що була визначена раніше: адже вказувалася сума 60, а тут вийшло 80, що відрізняється від числа 60 на 20, яке буде тут надлишком. Якщо ж ти візьмеш інше число, наприклад, 40, яке ти прийматимеш за грошову суму першого, то другий матиме 10, третій — 60. Однак тут сума третього, складена з сумою першого, становитиме 100, тобто знову-таки буде більшою, ніж зазначена сума, а саме 60, і більшою на 40, що також буде надлишком.

<="" p="">

Рис. 5

Виявивши у такий спосіб дві диференції, одержані від двох чисел, вибраних тобою помилково, проведи навхрест дві лінії подібно до літери X і біля її лівих відгалужень запиши «помилкові припущення» (тобто гіпотетичні помилкові числа — так вони, звичайно, називаються), а біля правих — знайдені диференції — першу в тому самому напрямі, що й перше \63\ гіпотетичне число, другу — в напрямі другого гіпотетичного числа, як у наведеному прикладі [рис. 5].

Поглянь тільки, чи обидві диференції є надлишком або нестачею, чи одна є надлишком, а друга нестачею, і постав літеру Е для позначання надлишку ²² і літеру D для позначення нестачі ²³.

2. Досі йшлося про розміщення, а тепер скажемо про виконання дії. Спочатку помнож перше гіпотетичне число на другу диференцію, як у даному прикладі — 30 на 40, — вийде 1200. Потім друге гіпотетичне число — на першу диференцію навхрест, як тут — 40 на 20, — вийде 800. Потім, якщо диференції однорідні, тобто обидві будуть надлишком або нестачею, відніми спочатку менший добуток від більшого, як тут — 800 від 1200, — різниця буде 400. Так само меншу диференцію відніми від більшої, як тут — 20 від 40, — залишиться 20. Потім різницю добутків, одержану раніше, поділи на різницю диференцій. Частка покаже шукане число, як у даному прикладі, розділивши 400 на 20, — одержиш частку 20, — отже, це й є число, що має бути грошовою сумою першого, /40/ а знаючи це, вже легко визначити грошові суми другого і третього. Якщо диференції будуть неоднорідні, тобто одна — надлишком, а друга — нестачею, тоді спочатку додай один до одного добутки гіпотетичних чисел, потім додай також одну до одної вказані диференції, а після цього суму гіпотетичних чисел розділи на суму складених диференцій, і частка позначить перше шукане число.

Це правило може бути застосоване і для розв’язання інших питань, що відрізняються від. наведеного вище. Тільки необхідно особливо підкреслити ту обставину, що, хоч числа нам і невідомі, проте мають бути відомі деякі відношення між ними, принаймні, треба знати, які відношення існують між окремими числами, як це було в попередньому прикладі, або яке буде відношення всіх разом узятих чисел до одного з них. Як, наприклад, у там задачі: «Якийсь чоловік, що має трьох синів, питає в тебе, скільки років має кожен з них, вказуючи при цьому таке відношення між роками окремих синів: середній на 2 роки старший за молодшого, а найстарший має стільки років, скільки тим обом, разом узятим, і зверх того ще 6». Батько їхній має 58 років, і число його років складає суму років усіх синів. Тут, як бачиш, крім вказаного відношення між роками, а саме, що другий на певне число років старший за першого, а третій знову-таки на певне число років старший за другого, існує ще й таке співвідношення між роками кожного з синів і загальна сума років, узяті разом, становлять число 58, тобто стільки, скільки років має батько. Адже, якби не були позначені певним числом \64\ відношення між роками кожного з синів і загальна сума років їх усіх, то цю задачу не можна було б розв’язати. І навпаки, якщо зробити, як ми пропонуємо, то, звичайно, легко буде відшукати ці різні числа, бо між ними існують певні відношення. Інакше ми ніколи не зможемо розв’язати це питання, хіба тільки випадково. Отже, щоб ти розв’язав поставлене питання, уяви собі, наприклад, що наймолодший син має 10 років, середній тоді матиме 12, а третій — 28. Згідно з цим припущенням батькові буде 50 років: адже стільки становлять усі роки, складені в одну суму. Але ж було сказано, що він має 58 років. Отже, виявляється, що число 10, яким ми позначили кількість років молодшого сина, було помилковим, неправильним. Тоді, накресливши навхрест дві лінії, постав на місці гіпотетичного числа 10, на місці диференції — 8 і напиши поруч з диференцією літеру D, тобто defectus. Якщо б ти зважився ще на одне припущення, позначивши роки наймолодшого сина числом 13, то другий мав би тоді 15, а третій — 34 роки, батько згідно з цим припущенням /40зв./ мав би 62, тобто більше, ніж він мав насправді. Отже, й це припущення «хибне», бо 62 більше від 58 на 4, що й буде диференцією з надлишком. Напиши тепер біля перехрещених ліній на місці гіпотетичного числа 13, а на місці диференції — 4 і поруч з диференцією постав літеру Е, що значить excessus [рис. 6].

Тепер помнож перше гіпотетичне число на другу диференцію, — одержиш число 40, потім друге гіпотетичне число помнож на першу диференцію, — матимеш добуток 104. І оскільки диференції різні — одна з надлишком, друга з нестачею, то згідно з другою настановою, викладеною вище, склади спочатку добутки обох гіпотетичних чисел, — вийде 144. Потім склади диференції одіну з одною, — буде 12. І нарешті розділи на цю суму складених диференцій суму добутків гіпотетичних чисел, тобто 144, — одержиш частку 12. Отже, це й є число років молодшого сина, бо середній матиме 14, старший 32, а батько — 58.

<="" p="">

Рис. 6.

І цього, я вважаю, досить для розуміння основних арифметичних правил. Більшість тих задач, що будуть наведені нижче, відноситься скоріше до приємних і цікавих вправ, ніж до застосування в геометрії. Залишається тепер нам перейти до спеціальної арифметики, а саме до такої, яка розглядається в геометрії.

Проте хочеться мені закінчити цю книжку декількома цікавими арифметичними загадками (подумками), розв’язання яких залежить від того, як ви засвоїли щойно викладені правила. \65\

Розділ одинадцятий