Про золоте правило

1. Тепер я розповім про відоме чудове й гідне найвищої хвали правило /35зв./ геометричної пропорції, яке через свої переваги та вигоди цілком слушно одержало назву золотого правила, бо воно заслуговує на те, щоб бути написаним золотими літерами, настільки велике його значення в геометрії, астрономії й у всіх інших галузях математики. Золоте правило пояснює, як при даних трьох числах знайти невідоме четверте число, яке так само відноситься до третього, як друге до першого. Тому воно у широкому повсякденному вжитку називається правилом трьох. Це правило має три різновиди, а саме: воно буває пряме, зворотне іскладне. Спочатку скажемо про пряме.

2. Щоб навчитися застосовувати це правило, треба знати, як відбуваються розміщення і дія. Розміщення тут таке: два з трьох даних чисел, які позначають ту саму річ, розмісти на крайніх місцях, а посередині постав третє число, що позначає іншу річ. Зроби це у такий спосіб: на першому місці постав число, до якого відноситься інше, а на третьому те інше, з яким ми пов’язуємо наше питання; те число, що залишиться, постав посередині. Наприклад, якщо ми маємо відповісти на таке питання: за 3 місяці виплачено 20 золотих, скільки треба виплатити за 9 місяців? Розмісти це так:

місяці | золоті | місяці

3 | 20 | 9

3. Дія відбувається у такий спосіб: помнож третє число на середнє, а добуток поділи на перше, — частка покаже шукане четверте число, пропорціональне до третього. Як бачиш, це справа легка, на неї не треба витрачати багато часу, а користь вія цього величезна. Так, у даному прикладі помнож 9 на 20, — вийде 180. Поділи це на 3, — одержиш частку 60. Є також інші способи виконання цієї дії, та для скорочення я їх пропускаю. І це все щодо золотого правила. Проте слід тут застерегти проти деяких ускладнень.

4. Передусім, якщо після ділення буде остача, то на неї має ділитися вся та річ, яка позначається четвертим числом. Так, якщо за 5 днів виплачують 8 флоринів, ми питаємо, скільки буде виплачено за 368 днів. Зробивши необхідні обчислення, ми одержимо після ділення 588 флоринів, але зверх частки залишиться остача 4. Отже, оскільки четвертим \56\ числом (яке ти шукаєш) позначаються флорини, поділи флорин на його менші частини, наприклад на 30 грошів, бо саме стільки грошів містить 1 флорин. Потім 30 помнож на 4, — вийде 120. Цю суму поділи на той самий дільник 5, — вийде частка 24, отже, за 368 днів /36/буде виплачемо 588 флоринів і 24 гроші. Якщо ти захочеш розбити флорин на 20 частин, тобто на богеми, то залишиться зверх частки в даному прикладі 16 богемів. Якщо розіб’єш на десяті частини, залишиться 8 і т. д. Я кажу це для того, щоб ти знав, що можеш за своїм власним бажанням поділити предмет, позначений четвертим числом, на які завгодно частини, аби тільки число їх не було меншим за перше число, тобто за дільник.

5. Як ми вже зауважували при поясненні цього правила, перше і третє числа, а також друге й четверте мають позначати не різні речі, а однорідні, що мають ту саму назву. Так, якщо буде стояти питання: «За один рік я виплачую 80 золотих, скільки маю виплатити за 7 днів?», то ці числа не можуть бути розміщені в такому поєднанні одне з одним, бо перше позначає рік, а третє — дні. Якщо б довелося тобі відповідати на таке питання, поділи більший предмет на такі частини, які позначені третім числом, як тут: рік — на 365 днів, а тоді вже обчислюй.

6. Якщо тобі зустрінуться мішані числа, тобто цілі, поєднані з дробовими, зведи їх до однойменних дробів ¹⁸ і виконуй дію за вказаним вище способом.

7. Якщо будуть перше число ціле, а третє дробове чи мішане, або обоє чисел дробові, але з різними знаменниками, зведи їх, передусім, до одного знаменника згідно з правилом 13, поданим у шостому розділі першої книжки, і після цього вже виконуй дію. Я тут нагадую знову про перше і третє числа, бо вони мають бути в усьому подібними одне до одного, хоча й нерівними.

8. Перевірка правильності дії при застосуванні золотого правила дуже проста: помнож четверте знайдене число на перше і, якщо добуток буде рівним добутку, одержаному, від перемноження третього на друге, то дія виконана правильно. Ця перевірка грунтується на тій властивості чотирьох пропорціональних чисел, яку сформулював Евклід у книжці сьомій «Основ» геометрії (теза 19), а саме; «Якщо чотири числа будуть пропорціональні, тоді число, яке одержують від перемноження першого на четверте, дорівнюватиме числу, одержаному від перемноження другого на третє». Приклад візьми з дії 3, виконаної і вище [рис. 2]. /36зв./

9. Обернене золоте правило — це таке, за допомогою якого шукають четверте число, що буде у стільки разів менше, у скільки разів третє число більше ¹⁹.

<="" p="">

Рис. 2

В попередньому правилі \57\

відношення було протилежним — там четверте число відносилося до третього так само, як друге до першого. Тут зовсім інакше: як третє відноситься до другого, так перше має відноситися до четвертого, яке ми шукаємо. Це стане тобі зрозуміло з такого прикладу: «Фортеця з 3-тисяч>ним гарнізоном опинилася в облозі, солдати мають запасів провіанту лише на сім місяців, однак немає ніякої надії на те, що їм пощастить звільнитися від облоги раніше, ніж через рік, Запитуємо: скільки можна залишити солдатів у фортеці, відпустивши останніх, щоб їм вистачило харчів на рік?»

Розмісти числа так, як було сказано раніше:

місяці | солдати | місяці

7 | 3000 | 12

Потім за способом, протилежним попередньому, помнож перше число на друге, добуток розділи на третє, — одержана частка і буде четвертим пропорціональним, яке ми шукаємо, як в даному прикладі: 7 помнож на 3000, — це дасть число 21 000. Розділивши його на 12, одержиш 1750. Отже, стільки солдатів можна залишити.

10. Перевірка цього правила робиться так: перше число множать на друге, а третє на четверте. Якщо обидва добутки будуть однакові, значить обчислення правильне. Ми розповіли тут про золоте правило, яке називається простим тому, що застосовується тоді, коли пропорція має прості члени; воли ж пропорція має окладні члени, тобто, коли перше і третє числа або навіть і середнє позначають не один предмет, а багато, тоді правило називається складним. Але про це скажемо окремо.

Розділ сьомий

ПРО ПОДВІЙНЕ ПРАВИЛО. /37/

1. Подвійне правило, як й інші, що мають бути викладені нижче, грунтується на золотому правилі. Застосовується воно тоді, коли на першому і третьому місцях стоять двоякі числа: одне — більш важливе, друге — менш важливе. Важливе — це те, що означає основну річ або предмет, менш важливе означає якусь властивість речі. На прикладі це легше буде зрозуміти. Припустимо, що треба розв’язати таку задачу: «Двом солдатам за дві частини року виплачують \58\ 60 золотих; запитується, скільки золотих виплатять 1500 солдатам за чотири частини року». Тут на першому і третьому місцях стоять числа, що позначають кількість солдат, і вони є важливими, а числа, які позначають обставини часу, тобто частини року, — менш важливими.

2. Дія, яку треба виконати, дуже легка, а саме: окремо розмістити важливі числа й окремо ті, що означають обставини. І оскільки ці числа є членами пропорції, яка підлягає подвійному правилу, виконай дві дії: спочатку збери в одне місце всі головні члени, потім, знайшовши після першої дії четверте число, розмісти його як середнє між обставинами і продовжуй дію. Другу дію слід виконувати просто, за золотим правилом. Проілюструємо це на прикладі. Числа, дані тобі в запитанні, розмісти так:

головні | 2 | 60 | 1500

обставини | 2 | __ | 4

Помнож спочатку 1600 на 60 — вийде 90000. Поділи це на перше число 2 — і частка буде шуканим пропорціональним числом — 45 000. Тепер це число постав як середнє між двома іншими, які позначають обставини, тобто між 2 і 4, і продовжуй дію у такий спосіб: помнож 4 на 45000, — вийде 180000, потім розділи це на 2, — буде 90 000. Це й є сума, яку ми шукаємо.

3. Однак уважно придивись, яким правилом — прямим чи оберненим — слід користуватися при обчисленні. Бо, якщо прямим, то обчислюй, як при прямому, а якщо оберненим, — тоді роби ще, як при оберненому. Наприклад, коли б стояло таке питання: «/37зв./ 20 женців протягом 7 днів вижинають 15 югерів. За скільки днів 16 женців вижнуть 20 югерів?» Знай, що тут треба застосувати обернене правило, бо, у скільки разив більшим є третє число, у стільки разів меншим має бути четверте. Так і тут: у скільки разів більше женців, у стільки разів менше днів треба, щоб закінчити роботу.

Розділ восьмий