Про числову прогресію

1. Числова прогресія — це не що інше, як будь-який ряд, який складається з багатьох чисел, що мають одну й ту саму диференцію або перебувають в однаковому відношенні одне до одного, тобто коли ці числа утворюють неперервну арифметичну або неперервну геометричну пропорцію. Тому прогресія буває двох видів: арифметична й геометрична. Для обох видів прогресії ми зазначимо тут правила, які полегшують складання багатьох чисел в одну суму. Це можна було б виконати, звичайно, і шляхом додавання, але то велика й нелегка робота. Отже, тут ми вказуємо скорочений спосіб такого додавання. /34зв./

СУМА АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

2. Перше, що слід зробити при знаходженні суми арифметичної прогресії, — це підрахувати, скільки місць займають дані числа.

3. Далі, якщо прогресія складається з непарних чисел, починаючи з 1, то число місць треба помножити само на себе, — матимеш шукану суму. Наприклад, дано такі числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Вони займають сім місць, отже помнож 7 на 7, тобто узнай, скільки буде 7 разів по 7 — знайдеш число 49 — це й є сума всіх чисел.

4. Якщо ж прогресія починається не з 1 або не всі числа непарні, тоді подивись спочатку, яке буде число місць, парне чи непарне. Якщо непарне, додай перше число прогресії до останнього і суму помнож на число місць, а добуток поділи на 2 і одержиш суму прогресії. Нехай дано такі числа: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Додай 2 до 20, — буде 22; помнож на 7, бо таке тут число місць, — одержиш 154; поділи це на 2, — частка буде 77. Це й є сума всіх чисел. \54\

5. Якщо число місць буде парне, тоді знову перше число додай до останнього і суму помнож на половину числа місць, І у такий спосіб ти точно встановиш шукану суму. Наприклад, треба розв’язати питання, скільки всього ударів робить годинник протягом дня і ночі — від 1-ї години до 24-ї. Додай 1 до 24, — одержиш 25; місць же тут буде стільки, скільки годин, тобто 24. Поділи це число навпіл, — матимеш 12, потім помнож 26 на 12 і одержиш ¹⁶ 300. Отже, стільки було всіх ударів годинника.

6. Цікавим також є знаходження числа місць арифметичної прогресії, коли даються лише її перший та останній члени, а також диференція, на яку всі числа даної прогресії поступово зростають. Наприклад, ми ставимо таке питання: якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна; /35/ так, найгірший коштує 4 золотих, а найкращий — 55 золотих, і ціна від першого, найдешевшого, весь час підіймається поступово від одного до другого коня на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней? Ти бачиш, що перше число тут 4, останнє 55, а диференція 3. Зроби так: перше відніми від останнього, як тут 4 від 55, — залишається 51; те, що залишилося, поділи на диференцію, як тут 51 на 3, — буде 17. Потім до частки додай 1, як тут, якщо до 17 додати 1, — буде 18. Отже, стільки всього було коней,

СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

7. Суму геометричної прогресії шукають у такий спосіб: якщо це будуть числа, що перебувають одне з одним у подвійному відношенні і починаються з 1, то спочатку слід подвоїти крайнє більше число і від добутку відняти 1. Те, що залишиться, і є шукана сума. Наприклад, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Після подвоєння 128 вийде 256; відкинь від цього 1 — залишиться 255. Це й є сума всіх чисел,

8. При всіх останніх видах відношень треба робити так: відніми крайнє менше число від крайнього більшого і ріаницю поділи на число, що є найближчим меншим від знаменника даного відношення (знаменником є число, від якого дане відношення одержало свою назву, як, наприклад, потрійне — від 3, чотирикратне — від 4 і т. д., про що йшлося вище). Додавши до частки більше крайнє число, матимеш суму ¹⁷. Наприклад, 3, 12, 48, 192, 768, 3072, 12288, 49152. Знаменником відношення є 4, відніми 3 від 49152, — залишиться 49149. Розділи це на 3, тобто на число, менше на 1 від знаменника, — частка буде 16383. Якщо додаси до неї крайнє більше число, матимеш суму всієї прогресії 65 535. \55\

Розділ шостий