4. Случайные величины и законы их распределения

Основным типом погрешностей, изучению которых посвящено последующее изложение, являются случайные поuрешности. Они поддаются строгому математическому опи-санию, что позволяет делать выводы о качестве измерений, в которых они присутствуют. Случайная величина x полностью задается плотностью вероятности ρ (х) (другие названия – распределение вероятности, распределение величины x).

Среднее значение измеряемой величины x указывает центр распределения, около которого группируются результаты отдельных измерений:

Дисперсию вводят как средний квадрат отклонения отдельных результатов от среднего значения случайной величины:

Коэффициент n-1 появляется, поскольку в связи с конечным количеством экспериментов вычисленное среднее значение отличается от предельного (получаемого при n→∞ ), и такая поправка дает возможность получить несмещенную оценку для дисперсии.

Среднее квадратичное отклонение, называемое также стандартным, определяют как квадратный корень из дисперсии:

Эта величина характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг среднего значения, получаемого после обработки всех данных многократного измерения. Конечно, точные значения σ и являются предельными величинами, так как могут быть получены лишь тогда, когда полноеколичество проведенных измерений достаточно велико, в пределе при n→∞. При конечных n правильнее использовать термин экспериментальная оценка, который в равной мере относится и к среднему значению, и к дисперсии.

4.1. Случайная величина

Понятие случайной величины является важнейшим в теории вероятностей. Для определения понятия «случайная величина» сформулируем понятие «опыт». Опытом называют всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Примерами опытов могут служить бросание монеты, выстрел по определенной цели, подсчет вызовов, поступивших на АТС в течение определенного промежутка времени, запись выходного сигнала автоматической системы в течение определенного промежутка времени, выбор слитка из партии слитков и др. Опыты можно характеризовать количественно и качественно.

Качественная характеристика опыта есть событие. Например, появление герба или цифры при бросании монеты являются событиями, попадания и промах при выстреле; то, что вес взятого наугад слитка из партии слитков оказался равным данному числу или меньше этого числа, также являются событиями.

Любая количественная характеристика опыта является случайной величиной. Например, частота появления герба при п бросаниях монеты; число вызовов, поступивших на АТС в течение промежутка времени: время безотказной работы элемента (например, триода) в схеме вычислительной машины; вес наугад взятого слитка из партии слитков и т.д.

Таким образом, случайной называется величина, которая может принимать в результате опыта то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно. Следует различать дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайные величины, принимающие только изолированные друг от друга значения, которые можно перечислить, называются дискретными случайными величинами. Частота появления герба ( ), число вызовов, поступивших на АТС (0,1,2,...) являются примерами дискретной случайной величины.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами. Границы такого числового промежутка зачастую бывают расплывчатыми, неопределенными. Примерами непрерывной случайной величины могут служить время безотказной работы элемента в какой-либо электрической схеме или вес наугад взятого слитка из партии слитков.