2.3. Частота. Статистический способ определения вероятностей событий

Способ непосредственного подсчета вероятностей событий применяют лишь тогда, когда исходы опыта обладают симметрией, т.е. являются случаями. Однако область применения этого способа очень ограничена. Например, если нарушить симметрию игральной кости, то определение вероятностей появления отдельных граней классическим способом становится уже невозможно, поскольку исходы опыта становятся не равновозможными. На практике встречаются события, вероятности которых не могут быть непосредственно подсчитаны. Например, вероятности таких событий, как «попадание в цель при выстреле», «благоприятная работа устройства в течение заданного времени» и др., не могут быть определены рассмотренными выше способами, так как соответствующие опыты не сводятся к схеме случаев. Здесь используются принципиально другие способы определения вероятностей событий. Из практики известно, что более возможные события появляются чаще, а менее возможные - реже. Это положение может быть использовано для определения вероятностей событий. Рассмотрим понятие частоты события.

Если проведено n^* опытов, в которых m^* раз появлялось событие А, то частотой события А называется отношение число опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему числу проведенных опытов. Обозначим частоту события А через Р^*(А).

Тогда P*(А)=

Частоту события называют его статистической вероятностью в отличие от ранее введенной «математической» вероятности. Очевидно, что частота события, как и «математическая» вероятность есть число, заключенное между нулем и единицей: 0 Р^*(А) 1. Частота события при небольшом числе опытов носит случайный характер. Однако при увеличении числа опытов частота стабилизируется около некоторого уровня. На рис. 1.4 представлен типичный график частоты появлений герба при бросании монеты как функции от числа бросаний (опытов) n. На графике величина n представлена в логарифмическом масштабе.

Рис.1.4

Из графика видно, что по мере увеличения числа испытаний n частота Р^*(А) события А имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения, колеблясь с убывающей амплитудой.

Это свойство устойчивости частот многократно проверялось экспериментально, строго доказывается и формулируется теоремой Бернулли как одна из форм так называемого «закона больших чисел». Бернулли математически доказано, что при неограниченном увеличении числа опытов, частота события стремится к вероятности этого события.

Это дает возможность определить вероятности событий так называемым статистическим способом. Сущность статистического способа определения вероятности события заключается в нахождение приближенного значения того числа, около которого стабилизируется частота, т.е. значений самой частоты, вычисленной при большом количестве испытаний. Зная частоту для большого числа испытаний, можно считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать

P(A) ≈ P^*(A)

Статистический способ определения вероятностей событий является экспериментальным способом. При определении вероятности события проводят многочисленные опыты (эксперименты), по результатам которых подсчитывается частота события. Затем, основываясь на свойстве устойчивости частот, полагают, что вероятность примерно равна частоте

P(A) ≈ P^*(A)

Достоинством статистического способа определения вероятностей событий является его универсальность. Он может быть использован при определении вероятностей любых событий. Однако способ требует проведения большого числа экспериментов, что связано, как правило, со значительными материальными затратами.

Статистический способ также не всегда может быть реализован, поскольку зачастую проведение экспериментов вообще не представляется возможным. Например, невозможно статистическим способом определить вероятность безотказной работы устройства на начальном этапе проектирования, когда это устройство существует лишь в чертежах.