Ільченко В.В.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для проведення лабораторних робіт по курсу

“Комп’ютерне моделювання в природничих науках”

Київ - 2010

Лабораторна робота №1

Моделювання процесу дифузії домішки в напівпроівіднику.

Процеси дифузії традиційно описуються за допомогою законів Фіка:

,

,

де C(z) – концентрація діфузанта, D – коефіцієнт дифузії.

Отримаємо ці вирази в одному із можливих наближень.

Існує декілька моделей, що описують процес дифузії, вони відображають собою різні підходи до моделювання дифузії. Наведемо нижче одну з них. Дана модель передбачає, що дифузант розповсюджується по міжвузлях в потенціальному полі гратки кристалу, при цьому враховується дія на кристал електричного поля (Рис. 1). Ця модель адекватно описує процес дифузії в напівпровідниках, де дифузант краще дифундує із міжвузля в міжвузля ніж із вузла в вузол. Коливання атома в міжвузлі вважається спробами перейти потенціальний бар’єр.

Z

a

Рис.1. Модель дифузії речовини в потенціальному полі кристалу.

В цьому наближенні потік дифузії можна записати у вигляді:

, де

,

,

,

.

Стала гратки a є малою величиною порівняно з характерними відстанями дифузії, тому складові F_i можна розкласти в ряд Тейлора. В результаті отримаємо:

,-

це і є перший закон Фіка у загальному вигляді з урахуванням впливу електричного поля.

У випадку коли поле слабке ,

.

Введемо коефіцієнт дифузії D та рухливість  наступним чином:

Тоді дифузійний потік перепишеться у вигляді:

.

Як видно з цього виразу, дифузійний потік зажди направлений проти поля, що його викликало.

З принципу неперервності потоку маємо рівняння

.

Комбінуючи останні два вирази для випадку нульового впливу зовнішнього електричного поля отримаємо класичний вираз для другого закону Фіка:

.

З цього рівняння, підставляючи граничні умови, можемо отримати розподіл концентрації домішки від однієї координати та часу.

В літературі найбільш детально описано два з них:

- відповідає випадку необмеженого джерела дифузанта (наприклад у випадку дифузії з газової фази) ,

- відповідає випадку обмеженого джерела дифузанта (наприклад у випадку дифузії із зародку висадженого на поверхні напівпровідника).

Завдання:

1. На поверхню кремнієвої пластівки з концентрацією донорів N_d=10¹⁶ ат/см³ наносять атоми бора з поверхневою концентрацією Q=2.25x10¹³ ат/см². Після цього пластину поміщують у дифузійну піч при температурі Т=1145^оС на 1 годину. Коефіцієнт дифузії атомів бору при цій температурі D=9.2х10¹³см²/с. Знайдіть профіль концентрації акцепторів(атомів бору) N_a(x) та різницевої концентрації N(x)=N_d - N_a(x).

2. Розрахуйте аналогічну задачу для дифузії з необмеженого джерела з концентрацією домішки дифузанта на границі N_d =10¹⁸ ат/см³.

3. Порівняйте отримані залежності.

4. Складіть письмовий звіт про виконання лабораторної роботи.

Звіт повинний містити в собі теоретичну частину, лістінг діючої програми розрахунку та висновки.

Контрольні запитання:

1. Отримайте співвідношення Ейнштейна.

2. Опишіть технологію виготовлення дифузійного p-n переходу.

3. Охарактеризуйте профілі розподілу домішок в сплавному та дифузійному p-n переходах.

Лабораторна робота №2 Моделювання вах контакта метал-напівпровідник для одного типу носіїв заряду.

Р озглянемо вольт-амперну характеристику для тісного контакту метал-напівпровідник у припущенні дифузійної теорії коли через границю розділу буде відбуватися транспорт лише одного типу носіїв заряду, а саме електронів.

Для опису процесу транспорту електронів можна скористатися системою дифузійно-дрейфових рівнянь. Для простоти припустимо, що електронний струм не змінюється з координатою, тобто процесами рекомбінації в області просторового заряду (ОПЗ) можна знехтувати.

В цьому випадку систему дифузійно-дрейфових рівнянь можна переписати у вигляді:

,

де використано рівняння Ейнштейна та враховано що .

Розв’язавши це рівняння можна отримати загальний вираз для концентрації електронів в залежності від координати для області просторового заряду у наступному вигляді:

,

де інтегрування проведено від точки з координатою до , що відповідає квазі –нейтральній границі області просторового заряду.

В цьому випадку кінцевий вираз для ВАХ контакту метал-напівпровідник можна представити у вигляді:

,

де функціональна залежність профілю потенціального бар’єру від координати у випадку шару Шотткі має вигляд:

.

Слід пам’ятати, що ширина області просторового заряду залежить від прикладеної напруги відповідно до співвідношення:

.

Завдання:

1. Змоделюйте поведінку ВАХ для заданих параметрів напівпровідника, потенціального бар’єру на границі напівпровідника з металом в залежності від температури. При цьому використайте наступні параметри:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8) , , ,

2. Складіть письмовий звіт про виконання лабораторної роботи.

Звіт повинний містити в собі теоретичну частину, лістінг діючої програми розрахунку та висновки.

Контрольні запитання:

1. Дайте визначення шару Шотткі.

2. Поясніть різницю між діодною та діфузійною теорією випростовування в контактах з бар’єром Шотткі.

3. Який максимальний коефіцієнт нелінійності для прямої гілки ВАХ може бути досягнутий в діоді Шотткі при кімнатній температурі.

4. Охарактеризуйте вплив профілі розполілу домішок в діоді Шоткі на ВАХ у випадках діодної та дифузійної теорії випростовування.

Лабораторна робота №3 Моделювання розв’язку стаціонарного рівняння Шредингера для прямокутної потенціальної ями, обчислення власних значень енергії.

Розглянемо стаціонарне рівняння Шредингера що записується у вигляді:

Для спрощення будемо користуватися системою координат в якій потенціал буде записуватися за допомогою симетричної функції (Див. Рис. 1).

Рис.1. Форма потенціалу в якому знаходиться частинка

Врахуємо, що у випадку такої форми потенціала хвильовим функціям притаманна або парність або непарність. Отже розв’язки рівняння Шредингера повинні відповідати одній з наступних умов:

або .

Така поведінка хвильової функції дозволяє задавати граничні умови або для похідної - в точці , або для самої .

Тепер розглянемо саму різницеву схему для чисельних розрахунків. Зробимо розбиття відрізку згідно до формули

співвідношень:

,

, .

Задамо парність або непарність хвильової функції. Це можна зробити за допомогою рівностей , для парної функції та рівностей , ( Див Рис.2 а,б).

Тоді різницева схема для кожного з таких випадків може бути сформульована на основі наступних співвідношень:

, де =1 та m=1 для атомної системи одиниць, при чому для , а для та .

.

Завдання:

1. Необхідно чисельно розв’язати стаціонарне рівняння Шредингера для наступних параметрів:

1) ;

2)

для кількох різних значень величини .

Із співставлення отриманих розв’язків для різних значень визначити власне значення енергії.

2. Складіть письмовий звіт про виконання лабораторної роботи.

Звіт повинний містити в собі теоретичну частину, лістінг діючої програми розрахунку та висновки.

Контрольні запитання:

1. Дайте визначення хвильової функції.

2. Які властивості повинна мати хвильова функція.

3. Чим визначаються граничні умови для хвильової функції на границях потенціальної ями.