3. Качество телефонной связи

Показатели качества обслуживания, рассмотренные в предыдущем разделе этой лекции, интересны – при использовании технологии "коммутация каналов" – для этапов установления и прекращения соединений в ТФОП. Соответствующие операции выполняются до и после основного этапа обслуживания вызова – телефонного разговора двух абонентов (в общем случае – обмена информацией между терминалами). На этом этапе для абонентов ТФОП существенны показатели качества телефонной связи. Они определяются характеристиками транспортной сети и коммутационных станций.

Важнейшей оценкой качества телефонной связи считается мнение абонента. В качестве меры качества речи МСЭ использует среднюю экспертную оценку, известную по аббревиатуре MOS (MeanOpinionScore). Она определяется по пятибалльной шкале. В стандартах ETSI для оценки качества телефонной связи используется величина . Она связана с оценкой MOS нелинейной зависимостью. В практически значимом диапазоне MOS (от 2,5 до 4,4) применяется простое правило пересчета: . Для основной массы абонентов приемлема оценка . Связь величины с абонентской оценкой телефонной связи иллюстрируется таблицей 1.

Таблица 1. Связь величины с абонентской оценкой телефонной связи

Диапазон	Категория качества речи	Удовлетворенность абонентов
90 – 100	наилучшая (best)	удовлетворены в высшей степени
80 – 90	высокая (high)	удовлетворены
70 – 80	средняя (medium)	некоторые не удовлетворены
60 – 70	низкая (low)	многие не удовлетворены
50 – 60	плохая (poor)	почти все не удовлетворены

С точки зрения восприятия звуковой информации особое значение придается показателю LSQ (Listener Speech Quality) – качеству речи для слушающего абонента. Величины LSQ, как и значения , определяются субъективно. Тем не менее, существуют и объективные оценки качества телефонной связи. Они прямо или косвенно связаны с субъективными оценками качества передачи речи. Объективные оценки, как правило, отражают один или несколько аспектов качества телефонной связи. Ценность подобных оценок заключается в том, что они позволяют планировать ТФОП с учетом требований к качеству передачи речи. Для объективных оценок обычно используются характеристики, которые могут быть измерены в процессе эксплуатации ТФОП.

Оценки, подобные приведенным в таблице 1, интересны также и для других сетей связи. Правда, для обеспечения заданного уровня показателей качества обслуживания в этих сетях приходится решать ряд других задач.

На рис. 3 приведена модель тракта обмена информацией между телефонными аппаратами двух абонентов. Как и для модели, рассмотренной ранее, предполагается, что соединение установлено через транзитных станций, а включение обоих телефонных аппаратов осуществляется по индивидуальным двухпроводным абонентским линиям. Для показателей, определяемых между абонентскими терминалами, в качестве нижнего индекса используется цифра "0". В других случаях вводятся буквенные обозначения при нормируемых показателях.

Рис. 3. Тракт обмена информацией между телефонными аппаратами двух абонентов

Одним из важнейших показателей качества телефонной связи считается величина остаточного затухания между абонентскими терминалами – . Она определяется как разность между уровнями сигнала частотой 1020 Гц на входе и на выходе канала, который организован между абонентскими терминалами. Снижение уровня принимаемого сигнала (при значительном остаточном затухании) ухудшает восприятие речи. В сочетании с другими мешающими факторами (в частности, с шумами) рост остаточного затухания может привести к невозможности телефонного разговора.

Требования абонентов ТФОП к остаточному затуханию разговорного тракта можно оценить при помощи сравнения с общением двух человек, находящихся на расстоянии друг от друга. Процессы, связанные с восприятием речи, очень схожи. В обоих случаях сигнал ослабевает. В таблице 2 приведены данные об изменении требований абонентов к качеству телефонной связи.

Таблица 2. Изменение требований абонентов к допустимому затуханию

Вид соединения в ТФОП	Эквивалентное расстояние при обычном общении, м
	1923 год	1933 год	1950 год	1985 год	Оптимальное
Местное	14	8,3	3,5	2,0	0,6
Междугородное	25	11,7	5,0	2,0	0,6

Очевидно, что величина остаточного затухания в процессе модернизации ТФОП должна уменьшаться. При цифровизации ТФОП такая возможность достигается за счет использования концепции "наложенной сети", рассмотренной в третьей лекции. Для цифрового участка ТФОП (между двумя АЦП) остаточное затухание целесообразно устанавливать на уровне 7 дБ. Эта величина относится к базовой сети, о которой говорилось во вводной лекции. Тогда в цифровой ТФОП (рис. 4) остаточное затухание разговорного тракта будет определяться параметрами абонентских линий.

Рис. 4. Распределение остаточного затухания в цифровой телефонной сети

В скобках для каждого обозначения остаточного затухания (между терминалами двух абонентов – , абонентской линии – и базовой сети – ) приведены те перспективные нормы, которые рекомендуются для цифровой ТФОП. Следует заметить, что повышение допустимой величины остаточного затухания для абонентской линии (ранее было нормировано значение 4,5 дБ) может привести к проблемам с применением технологий xDSL. Кроме того, увеличиваются затраты на построение сети доступа. Эти вопросы рассматриваются в следующей лекции.

Еще одним важным показателем качества телефонной связи в цифровой ТФОП является коэффициент искажений битов – BER (BitErrorRate). В ряде публикаций этот коэффициент называется частотой появления искаженных битов. Увеличение количества таких битов может заметно искажать речевой сигнал и существенно влиять на процессы обмена данными при использовании ресурсов ТФОП для передачи дискретной информации. Качество тракта E1, соединяющего цифровые коммутационные станции между собой, считается хорошим, если коэффициент искаженных битов не превышает уровень .

Потоки заявок

Словосочетание "поток заявок" – одно из фундаментальных понятий в теории телетрафика. Его описанию в классификации Кендалла (включая все модификации) отводится первая позиция.

Поток заявок в редких случаях можно считать детерминированным. Для него время между поступлением соседних заявок – постоянная величина. Процесс поступления заявок обычно является случайным. Длительность обслуживания заявок в большинстве случаев также будет случайной величиной. Постоянная длительность обслуживания заявок встречается в некоторых элементах инфокоммуникационных сетей чаще. Как правило, функциям и , описывающим свойства входящего потока заявок и процесса их обслуживания, свойственна ненулевая дисперсия.

Этот факт иллюстрируют результаты измерений трафика, которые проводятся Операторами ТФОП. На рисунке 1 приведены статистические данные о вызовах, которые обслуживаются телефонной станцией. Статистические данные собирались о числе вызовов за каждую минуту в течение суток. Во всех случаях соединения были установлены для телефонной связи.

Рисунок 1. Количество вызовов, обслуживаемых телефонной станцией

Гистограмма, показанная на рисунке 1, была построена в результате обработки статистических данных, которые собирались в течение десяти дней. Эти десять дней соответствовали двум рабочим неделям. Конечно, такая выборка не позволяет судить об изменении количества поступающих вызовов в течение квартала или года. Правда, в некоторых случаях можно выделить тренды, описывающие изменения исследуемого процесса в течение нескольких лет. В любом случае, данные, подобные тем, что приведены на рисунке 1, представляют большой практический интерес.

Количество поступивших вызовов усреднялось по интервалам длительностью 15 минут. Такая длительность интервала очень часто используется при измерении трафика в телефонных сетях. Для сравнения на рисунке 2 показана гистограмма, которая получена при измерении трафика, поступающего в модемный пул. Все соединения в данном случае устанавливались для обмена данными или для выхода в Internet.

Рисунок 2. Количество вызовов, поступающих в модемный пул

Гистограммы, приведенные на двух рисунках, иллюстрируют существенные различия в характере потока вызовов, свойственных трафику речи и данных. Если же обратиться к потокам вызовов, поступающих в различные телефонные станции, то можно обнаружить и несоответствия для трафика одного вида. В данном случае речь идет о трафике речи. Для телефонной станции, вызовы которой иллюстрирует рисунок 1, час наибольшей нагрузки (ЧНН) приходится на дневное время. Такая ситуация характерна для телефонных станций с существенной долей абонентов делового сектора. Если телефонная станция расположена в так называемом "спальном районе", ее ЧНН приходится на вечернее время. Иногда выделяют два ЧНН – дневной и вечерний.

Следует отметить, что слово "заявка" используется как универсальный термин. Вызов – только один из примеров заявки (правда, очень важный в теории телетрафика). Поступивший вызов может породить несколько процессов (например, в системах технической эксплуатации, тарификации и других), которые не связаны с установлением соединений в инфокоммуникационной сети. Иногда в теории телетрафика используется слово "требование" как синоним термина "заявка".

В теории телетрафика – за редким исключением – рассматривают случайные потоки вызовов. Детерминированные потоки вызовов встречаются в практической деятельности очень редко. Тем не менее, именно для детерминированных потоков вызовов проще сформулировать некоторые положения теории телетрафика.

Детерминированный поток вызовов может быть представлен последовательностью ( ). Вызовы поступают только в моменты времени . Могут накладываться некоторые ограничения на число поступающих вызовов. Простейший случай – в любой момент времени ( ) может поступить не более чем один вызов. Такой поток называется ординарным.

На рисунке 3 показаны два способа представления потока вызовов. Способ (а) иллюстрирует изложенный выше метод описания потока вызовов. Способ (б), основанный на применении ступенчатой функции , позволяет наглядно отразить ряд свойств потока вызовов. Функция представляет ординарный поток вызовов. Очевидно, что функция описывает неординарный поток вызовов. Обе функции для наглядности имеют приращения в одних и тех же точках по оси абсцисс. Для функции все приращения по оси одинаковы, так как в любой момент времени поступает один вызов. Для неординарного потока на рисунке 3 показана возможность поступления двух ( и ) и даже трех ( ) вызовов, что определяется величиной приращения функции по оси ординат.

Рисунок 3. Два способа представления потока вызовов

Ось абсцисс для некоторых приложений удобно определять как последовательность промежутков ( ) между вызовами. Величина представляет собой разность для

Различия между детерминированным и случайным потоками вызовов можно свести к свойствам функции . Для случайного потока вызовов и моменты , и приращения функции уже нельзя рассматривать как детерминированные. В телефонной связи обычно рассматриваются финитные случайные потоки, для которых математическое ожидание числа вызовов, поступивших за известный период времени, представляет собой конечную величину. Более того, обычно предполагают, что потоки вызовов обладают свойством рекуррентности. Поток вызовов считается рекуррентным, если промежутки времени между вызовами ( ) независимы и одинаково распределены. Для полноценного описания рекуррентного потока необходимо знать функцию распределения (ФР) длительности интервалов между вызовами – :

(1)

Если случайные величины нельзя считать независимыми, то ФР следует заменить более сложной функцией. Фактически необходимо задать ФР, определяющую взаимосвязь между величинами . Подобные потоки в классической теории телетрафика обычно не рассматриваются.

Важное свойство некоторых классов потоков вызовов – отсутствие последействия. Допустим, что мы рассматриваем поток вызовов после какого-то момента времени . Если его характеристики не зависят от поведения потока для , то можно говорить об отсутствии последействия. Для потока вызовов без последействия характерно следующее: для двух попарно не пересекающихся промежутков времени разности функций будут независимыми случайными величинами.

Важным атрибутом потока вызовов следует считать стационарность. Рассмотрим конечную совокупность непересекающихся интервалов времени. Если вероятность поступления вызовов – не меняется при сдвиге этой совокупности интервалов на любой отрезок времени, то поток стационарен. Допустим, что интересна вероятность для отрезка – . Для стационарного потока искомая вероятность зависит не от величин и , а только от их разности.

Для потока вызовов иногда определяют вероятность поступления хотя бы вызовов – . Эта вероятность позволяет сформулировать условие ординарности потока вызовов. Он считается ординарным, если при отношение

(2)

равномерно на любом конечном интервале времени. Параметром потока называется следующий предел (если, конечно, он существует):

. (3)

В телефонии, как и в ряде других приложений, часто используют предположение о том, что входящий поток вызовов является простейшим. Такому потоку присущи три важных свойства: он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Это означает, что . Распределение длин промежутков между вызовами для простейшего потока подчиняется экспоненциальному закону:

. (4)

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

(5)

Среднее число заявок, поступающих за время , составляет . Математическое ожидание числа заявок, поступающих за единицу времени, называется интенсивностью потока – . Для простейшего потока . Поэтому величину (вместо ) обычно называют интенсивностью потока заявок. Правильным названием величины следует считать "параметр потока".

Замечательным свойством обладает объединение независимых простейших потоков вызовов с интенсивностями и так далее. Результатом операции объединения является также простейший поток с интенсивностью .

Во многих случаях сумма большого числа малых стационарных потоков близка к простейшему потоку. Это положение часто используется в теории телетрафика. Оно помогают существенно упростить анализ СМО. Правда, в ряде практических задач речь идет о суммировании сравнительно малого числа потоков.

Для телефонной сети, построенной на базе технологии "коммутация каналов", наиболее достоверным выглядит предположение об ординарности потока вызовов. Действительно, телефонные вызовы не приходят пачками в отличие от заявок в некоторых других инфокоммуникационных системах. Свойство стационарности опровергает первый рисунок. Правда, расчет телефонной сети осуществляется для ЧНН, что необходимо для соблюдения заданных показателей качества обслуживания вызовов в любое время суток. В пределах ЧНН допущение о стационарном характере потока вызовов в телефонной сети считается допустимым. Гипотеза об отсутствии последействия опровергается ситуациями, когда один вызов порождает несколько других. Например, в процессе телефонного разговора с одноклассником Вы решили собрать школьных друзей на дачу. Ваш друг берет на себя задачу обзвонить их. В результате осуществляется ряд вызовов (возможно, что процесс будет чем-то похож на "цепную реакцию"). С другой стороны, при большой емкости телефонной станции предположение об отсутствии последействия может быть обосновано математически.

Использование гипотезы о пуассоновском характере потока вызовов не всегда правомерно. К сожалению, большинство других рекуррентных потоков, интересных с точки зрения адекватного представления исследуемого процесса, не позволяют получить формулы для расчета всех необходимых характеристик СМО.

Для некоторых приложений целесообразно использовать ступенчатые функции при анализе сложных СМО. В классификации Кендалла СМО такого рода можно представить следующим образом:

(6)

Символ " " образован из двух букв. Буква используется для обозначения детерминированного распределения. Предшествующая ей буква – по аналогии с гиперэкспоненциальным распределением – указывает на то, что рассматривается "смесь" функций. Ранее использовался также символ – первая буква в слове "ступенька" на английском языке.

Для потока заявок, поступающего в СМО вида (6), распределение интервалов между вызовами удобно определять преобразованием Лапласа-Стилтьеса – На основе первой теоремы смещения (она была рассмотрена в первой лекции) эта функция может быть представлена в таком виде:

. (7)

Если обозначить через наибольший общий делитель для всех значений из множества , то формулу (7) можно переписать в иной редакции:

. (8)

Точка определяет такое значение , после которого все величины приращений . Можно показать, что даже при усложнения процесса вычисления ФР не происходит.

На рисунке 4 представлена модель СМО, для которой можно выделить разные виды входящих и выходящих потоков. Рассматривается гипотетическая модель, но можно представить какой-либо элемент инфокоммуникационной системы с такой (или близкой) совокупностью входящих и выходящих потоков.

Рисунок 4. СМО с различными видами входящих и выходящих потоков

Анализируемая СМО расположена в правой части предложенной модели. Для нее следует выделить три вида входящих потоков. Во-первых, потоков выходит из такого же числа СМО. Они, одновременно, являются входящими потоками для рассматриваемой СМО. Во-вторых, потоков создают терминалы, посредством которых пользователи осуществляют обмен информацией. В-третьих, в некоторых СМО существует своего рода петля обратной связи, которая образует путь для еще одного вида потока заявок.

В некоторых случаях выделяют пуассоновский поток первого и второго рода. Пуассоновский поток первого рода создается бесконечным числом источников трафика. Понятно, что это некая идеализация. Пуассоновский поток второго рода генерируется конечным числом источников трафика.

Некоторые заявки могут теряться по различным причинам (ограниченное число мест для ожидания, чрезмерная задержка обслуживания и так далее). Поэтому в нижней части нашей модели показан поток потерянных заявок. На выходе СМО формируется выходящих потоков.

На рисунке 5 показана модель сети доступа, позволяющая выделить, как минимум, два вида потоков входящего вызова. Эти потоки порождают заявки, попадающие на вход СМО, которая формализует некое гипотетическое устройство обработки вызовов.

Рисунок 5. Модель сети доступа с двумя видами потоков вызовов

Предполагается, что коммутационное поле цифровой АТС поддерживает два типа интерфейсов. Выносные модули включаются по интерфейсу V5.2, которому свойственна высокая концентрация потока вызовов. Индивидуальные двухпроводные физические цепи включаются по интерфейсу Z. Обычно эти линии создают небольшой трафик. В правой части рисунка 5 показана исследуемая СМО, на вход которой поступают два вида потоков вызовов, численность которых равна и соответственно.

Самая лучшая – для исследования СМО – ситуация подразумевает, что оба типа потоков являются пуассоновскими. Тогда суммарный поток можно считать также пуассоновским. В противном случае определение характера потока, поступающего на вход СМО, существенно усложняется. Правда, для тех рекуррентных потоков, которые могут быть представлены распределением (8), задача упрощается. Для объединенного потока преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между вызовами – также определяет ступенчатую функцию:

. (9)

Конечно, определение верхнего предела суммирования – и (главное) величин приращений – представляет собой нетривиальную процедуру. Переход к моделям, для которых преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между вызовами представимо формулой (8), целесообразен в тех случаях, когда гипотеза о простейшем потоке далека от реальности.

Некоторые дополнения и обобщения:

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени , называется ведущей функции потока – . Потоки с непрерывной ведущей функций называются регулярными, а со ступенчатой – сингулярные. Ранее теория телетрафика изучала только регулярные потоки.

Важными свойствами потоков считаются стационарность, ординарность, отсутствие последействия.

Параметром потока называется предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время к длине этого интервала времени при :

Простейший поток

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

.

Этому потоку присущи три важных свойства: он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Это означает, что . Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется таким законом:

.

Потоки заявок (продолжение)

Основной акцент в предыдущей лекции был сделан на характеристиках простейшего потока заявок. Этому потоку свойственны: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

. (1)

Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется экспоненциальным законом:

. (2)

Практический интерес для расчета сетей и систем связи (следовательно, и для теории телетрафика) представляют потоки заявок, отличающиеся от простейшего потока. Ряд таких потоков заявок рассматривается в этой лекции.

1. Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки

Нестационарный пуассоновский поток – это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени существует конечный параметр . Этот параметр зависит от момента времени .

Рассматриваемый поток называют также потоком с переменным параметром или нестационарным простейшим потоком. Вероятность поступления точно вызовов за промежуток времени определяется следующим образом:

. (3)

Если поток стационарен, то . Тогда формула (3) легко преобразуется в формулу (1). Напомним, что параметром потока называется предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время к длине этого интервала времени при :

(4)

Неординарный пуассоновский поток – это стационарный поток без последействия, для которого одновременно могут поступать заявок. Обычно предполагается, что . Величину называют характеристикой неординарности потока заявок. Можно выделить два типичных случая:

• значение – постоянная величина (тогда формула (1) позволяет рассчитать вероятность появления "пачки" вызовов размером );

• значение – переменная величина (тогда определяется вероятность , оценивающая возможность появления "пачки", состоящей из заявок).

Общий параметр потока во втором случае оценивается следующим образом:

. (5)

Интенсивность ( ) неординарного пуассоновского потока больше его параметра ( ):

. (6)

Интерес к нестационарным пуассоновским потокам объясняется природой трафика в телефонной сети. Неординарные потоки заявок циркулируют во многих современных системах связи. Первый пример такого потока может быть найден в системе телеграфной связи, когда диспетчер разносил по рабочим местам стопки сообщений для их подготовки и последующей отправки.

2. Потоки с простым последействием

Для потока с простым последействием важнейшей характеристикой считается зависимость параметра потока от состояния СМО в любой момент времени .

Если рассматривать коммутационное поле телефонной станции, то можно выделить множество , описывающее все возможные состояния. Каждый элемент множества отражает, например, состояние элемента коммутации. Если этот элемент пребывает в двух состояниях (включено – выключено), то для элементов множество состояний будет определяться величиной .

Для анализа обычно выделяют микро- и макросостояния коммутационного поля. Выбор между ними осуществляется с учетом природы решаемой задачи. Он также будет зависеть от свойств коммутационного поля. Для исследования коммутационных полей под макросостоянием обычно понимают только число занятых входов или выходов. Параметром потока в состоянии считается следующий предел:

. (7)

В числителе указана вероятность поступления на отрезке одного и более вызовов, если в момент времени СМО находилась в состоянии . Эта формула позволяет сформулировать такое определение: поток с простым последействием является ординарным, для которого в любой момент времени существует конечный параметр в состоянии , зависящий только от состояния СМО – и независящий от процесса обслуживания заявок до момента времени .

Рассматриваемое последействие называется простым по следующей причине: для расчета параметра потока достаточно знать состояние СМО . Это означает, что поток с простым последействием не относится к классу стационарных потоков. Его параметр зависит от времени. Эта зависимость проявляется через состояние .

3. Симметричный и примитивный потоки

Эти два вида потоков можно рассматривать как частные случаи потока с простым последействием. Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого в любой произвольный момент времени зависит лишь от числа обслуживаемых в этот момент времени вызовов . Этот означает, что параметр потока не зависит от других свойств состояния . Тогда обозначение можно заменить на .

Примитивным потоком называется такой симметричный поток, параметр которого прямо пропорционален числу свободных в данный момент времени источников трафика:

. (8)

В этой формуле – общее число источников трафика, – число занятых источников трафика, – параметр потока источника в свободном состоянии. Этот параметр считается постоянной величиной, а параметр примитивного потока убывает по мере роста численности занятых источников трафика.

Математическое ожидание (среднее значение) параметра примитивного потока определяется с учетом вероятности нахождения СМО в состоянии – (занятости источников трафика):

. (9)

Функция распределения вида для каждого источника трафика определяется таким соотношением:

. (10)

Для достаточно больших значений и малых величин примитивный поток очень похож на простейший с интенсивностью заявок .

4. Поток с повторными вызовами

Поток заявок (вызовов), поступающих в СМО (местную телефонную станцию), часто можно рассматривать как совокупность первичных и повторных заявок. Первичная заявка генерируется терминалом, ранее не занятым исходящим соединением. Повторная заявка создается терминалом, который (в недавнем прошлом) получил отказ в обслуживании. Параметр потока первичных вызовов (заявок) можно считать независящим от состояния местной телефонной станции. Для параметра повторных вызовов такое допущение нельзя считать приемлемым. Чем больше занято обслуживающих приборов, тем больше параметр потока повторных вызовов.

Различить первичные и повторные заявки достаточно сложно. В любом случае, надо учитывать, что поток, интенсивность которого измеряется на входе СМО, образован двумя видами заявок – первичными и повторными. Способы снижения интенсивности повторных заявок – предмет отдельного анализа.

7. Выходящие потоки

Свойства выходящих потоков часто представляют большой практический интерес. Эти потоки являются входящими для последующих СМО. Свойства выходящего потока зависят от множества факторов, среди которых следует выделить:

• характеристики входящего потока заявок;

• длительность обслуживания заявок и соответствующий закон распределения;

• численность обслуживающих приборов;

• алгоритм выбора заявки на обслуживание.

Наиболее просто исследовать однолинейную СМО с ожиданием, на вход которой поступает пуассоновский входящий поток. Для такой модели известно преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения интервалов между заявками, покидающими СМО:

. (16)

Из этого выражения можно найти коэффициент вариации длительности интервалов между заявками, покидающими СМО – . Для этого необходимо взять первую и вторую производные от . В точке эти производные определяют первый и второй моменты функции распределения интервалов между заявками, покидающими СМО. Из-за отсутствия потерь заявок первый момент составляет . По двум моментам легко определяется величина :

. (17)

В этой формуле величина определяет коэффициент вариации длительности обслуживания заявок. Очевидно, что выходящий поток будет близок к простейшему (по критерию ) при соблюдении хотя бы одного из двух условий:

• низкая загрузка системы , что приближает величину к единице вне зависимости от характера функции ;

• близость коэффициента к единице (в этом случае не так существенна величина загрузки системы).

Строго говоря, условие нельзя считать достаточным для утверждения о пуассоновском характере выходящего потока. Можно подобрать ряд распределений, для которых , но функция распределения длительности интервалов между вызовами не будет похожа на экспоненциальный закон.

Обслуживание заявок

В большинстве СМО время обслуживания заявок представляет собой случайную величину. Следовательно, полная информация о длительности обслуживания заявок может быть представлена ФР – . Будем считать, что функция имеет преобразование Лапласа-Стилтьеса – .

По аналогии с лекцией о потоках заявок рассмотрим статистические данные о времени телефонного разговора и длительности занятия модемного пула – рисунки 1 и 2.

Рисунок 1. Изменение среднего времени телефонного разговора в сутки

Статистические данные, использованные для построения той гистограммы, которая приведена на рисунке 1, были собраны в 1973 году. Поэтому измеряемая величина связана только с трафиком речи. Передача факсимильных сообщений в это время была большой редкостью, а трафик данных вообще отсутствовал. Следует отметить, что длительность местных соединений при сборе статистических данных не учитывалась. Это означает, что рассматривался междугородный и международный трафик речи. Необходимо также подчеркнуть, что измеряемая величина характерна для соединений, устанавливаемых со стационарных телефонных терминалов (в 1973 году мобильной связи еще не было). Для сетей мобильной связи характерны иные распределения и численности вызовов, и средней длительности разговоров.

Рисунок 2. Изменение среднего времени занятия модемного пула

Очевидно, два графика не идентичны ни с точки зрения закона распределения, ни по численным значениям математического ожидания длительности обслуживания заявок. Напомним, что оба графика представляют динамику изменения средних величин. Среди тех распределений , которые представляют практический интерес, можно выделить семь законов.

Во многих исследованиях, касающихся телефонного трафика, используется предположение об экспоненциальном распределении:

(1)

Экспоненциальное распределение существенно упрощает исследование СМО. Кроме того, многие распределения, более реальные с практической точки зрения, имеют коэффициент вариации менее единицы. Это означает, что результаты, полученные для экспоненциального распределения, позволяют оценить характеристики исследуемой СМО "сверху" – для пессимистического сценария. Тем не менее, для многих ситуаций гипотезу об экспоненциальном распределении длительности обслуживания заявок следует считать очень грубым приближением. Это утверждение справедливо и для многих других законов распределения с модой в точке .

Распределения с коэффициентом вариации менее единицы часто представимы с помощью распределения Эрланга порядка. Характеристики этого распределения были приведены в предыдущей лекции. Напомним выражение для ФР:

(2)

При распределение Эрланга вырождается. Этот случай рассматривается как самостоятельное распределение – постоянная длительность обслуживания, равная . Для ряда технических систем СМО с постоянным временем обслуживания хорошо описывает процессы функционирования. Функцию проще записать через преобразование Лапласа-Стилтьеса:

. (3)

Распределения с коэффициентом вариации более единицы можно представить с помощью гиперэкспоненциального распределения. На практике чаще всего используют простейшую форму гиперэкспоненциального распределения:

• длительность обслуживания заявок подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью с вероятностью ;

• длительность обслуживания заявок подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью с вероятностью ;

Эти предположения позволяют представить ФР длительности обслуживания в таком виде:

. (4)

Комбинация эрланговского и гиперэкспоненциального распределения позволяет хорошо аппроксимировать множество непрерывных функций. Соответствующая ФР может быть определена так:

(5)

Для коэффициентов должны выполняться два условия:

(6)

Следующее распределение – равномерное на отрезке времени . Оно также было рассмотрено на первой лекции. Выражение для ФР записывается в следующем виде:

(7)

Последнее распределение относится к дискретным. Речь идет о ступенчатой функции, для которой справедливо такой преобразование Лапласа-Стилтьеса:

(8)

Конечно, можно привести ряд других примеров, но далее иные ФР рассматриваться не будут.

Лекция 4 Нагрузка.

Слово "нагрузка" чаще используется специалистами по телефонии. Оно является синонимом термина "трафик". Для определения термина "нагрузка" рассмотрим рисунок. Он иллюстрирует изменение численности занятых линий в пучке СЛ в течение пяти периодов времени . Функция , которая принимает положительные целочисленные значения, определяет число занятых линий в момент времени . Для каждого периода можно определить среднее значение числа занятых линий. Эта величина может быть дробной.

Численность занятых линий в пучке СЛ

Допустим, что в качестве единицы времени выбран отрезок . Тогда нагрузкой можно считать то время, в течение которого были заняты СЛ. Это время можно высчитать, суммируя длительность занятия всех СЛ, которая измеряется на отрезке . Если пучок насчитывает СЛ, а суммарная длительность занятия линии на отрезке составляет , то пропущенная (или обслуженная) нагрузка – определяется очевидной формулой:

= . (1)

Нагрузка обладает важным свойством – аддитивностью. За пять отрезков времени, показанных на графике, – нагрузка рассчитывается следующим образом:

(2)

Очевидно, что нагрузка – с точки зрения физики рассматриваемого процесса – измеряется в единицах времени. В телефонии за единицу измерения нагрузки принято одно часо-занятие. Под ним понимается такая нагрузка, которая может быть обслужена одним прибором в течение часа при непрерывном использовании этого прибора. Реже (как правило, в зарубежной технической литературе) встречается словосочетание минуто-занятие.

Одно часо-занятие, отнесенное к одному часу, называется интенсивностью нагрузки. Единицей измерения интенсивности нагрузки принят один эрланг (Эрл). Эта величина получила свое название в честь выдающегося специалиста по теории телетрафика. С точки зрения логики рассматриваемого процесса интенсивность нагрузки – безразмерная величина. Строго интенсивность нагрузки – определяется так:

(3)

Иными словами, первая производная нагрузки определяет ее интенсивность. Интенсивность обслуженной нагрузки, выраженной в Эрлангах, равна числу одновременно занятых приборов.

Кроме пропущенной выделяют еще два вида нагрузки – поступающую (называемую также предложенной) – и потерянную – . Поступающая нагрузка, в некотором смысле, может считаться прогнозируемой. Достоверно может оцениваться лишь число поступающих вызовов – . Часть вызовов – теряется; время их обслуживания (если оно не является постоянной величиной) неизвестно. Аналогичная ситуация связана с потерянной нагрузкой. Потерянная нагрузка может быть вычислена как разность .

Состояние любого обслуживающего прибора может быть представлено с помощью периодов занятости и свободности. За исключением систем, работающих по расписанию, длительность каждого их этих двух периодов представляет собой случайную величину.

Два состояния обслуживающего прибора

Для телефонной нагрузки весьма существенны три параметра. Во-первых, важно знать число источников нагрузки – . Характерный пример этого параметра – число терминалов, включенных в концентратор. Во-вторых, необходимо определить среднее число вызовов, поступающих от одного источника за единицу времени – . В-третьих, следует оценить математическое ожидание длительности обслуживания одного вызова – . Тогда поступающая нагрузка определяется следующим соотношением:

(4)

В зарубежных публикациях обычно используются иные обозначения. В частности, в рекомендации МСЭ E.500 формула (4) представлена в таком виде:

(5)

Между обозначениями, входящими в обе формулы, устанавливаются следующие соответствия:

Телефонная нагрузка заметно меняется в течение дня (колебания можно проследить по дням недели, месяцам, годам). Расчет оборудования, необходимого для обслуживания телефонного трафика, осуществляется для часа наибольшей нагрузки (ЧНН). В некоторых публикациях предлагается – в дополнение к ЧНН – выделять период наибольшей нагрузки. Его длительность ( ) может быть различной в зависимости от цели, для которой необходимо знать период максимальной нагрузки. Она может быть меньше или больше одного часа. В данном случае составляет три часа.

Час и период наибольшей нагрузки

Доля нагрузки, создаваемой в ЧНН – , часто оценивается коэффициентом концентрации – . Для его оценки необходимо также знать нагрузку за сутки – :

(6)

Диапазон изменения этого коэффициента значителен. Для многих телефонных сетей в крупных городах он составляет около 0,1. В менее крупных сетях величина может достигать 0,2. Если рассмотреть два города, находящихся в таких часовых поясах, для которых разница во времени составляет половину суток, то коэффициент концентрации будет очень большим.

Выделение ЧНН или периода максимальной нагрузки преследует конкретную цель. Установленные Администрацией связи показатели качества обслуживания телефонной нагрузки должны соблюдаться и в периоды высокого трафика. Естественно, что в другое время (в частности, ночью) ресурсы телефонной сети будут использоваться не так эффективно как в ЧНН. Правда, Оператор с помощью технических и маркетинговых операций может обеспечить экономичное функционирование инфокоммуникационной системы. Характерный пример – предоставление ресурсов для обслуживания трафика Internet.

Как правило, среди источников нагрузки выделяют группы, для которых характерны различные средние значения числа вызовов от одного источника за единицу времени ( ) и длительности обслуживания одного вызова ( ). Иными словами, речь идет о существовании трех множеств: и . Очевидно, что среднее значение числа вызовов от одного источника за единицу времени может быть рассчитано по такой формуле:

(7)

Среди элементов множества чаще всего выделяют терминалы абонентов квартирного и делового секторов, таксофоны, а также линии от УАТС, включаемые на правах абонентских установок. Возможны и иные способы разбиения множества .

Величина определяет среднее значение числа вызовов для группы абонентов численностью . Далеко не каждый вызов – в силу различных причин – заканчивается установлением соединения. Можно выделить четыре основные причины неудачной попытки вызова. Каждой причине свойственны вероятности ее появления – :

• занятость линии вызываемого абонента – ;

• отсутствие ответа вызываемого абонента – ;

• ошибки вызывающего абонента в процессе установления соединения – ;

• отказы в установлении соединения по вине телефонной сети – ;

Доля вызовов, окончившихся удачным установлением соединения ( ), может быть получена на основе очевидного соотношения:

(8)

Обычно в телефонных сетях величина находится в диапазоне 0,5 – 0,7. В сетях мобильной связи – по понятным причинам – доля вызовов, закончившихся удачным установлением соединения (в данном случае можно считать, что разговором, благодаря персонализации связи), существенно выше.

На рисунке показана структура длительности занятия в случае успешного вызова. Этот простой рисунок позволяет наглядно представить случайный процесс, который характерен для обслуживания телефонной нагрузки.

Длительность занятия для успешного вызова

Время начинается с момента поднятия микротелефонной трубки (или проведения аналогичной операции) и заканчивается набором первой цифры номера. Если абонент не начинает набор номера, то по истечении некоторого контрольного времени он услышит зуммер "Занято". Существует некоторое минимальное время , до которого набор номера невозможен. Это время, измеряемое миллисекундами, необходимо для подачи абоненту акустического сигнала "Ответ станции". Кроме того, абонент может положить трубку, не приступив к набору номера. Таким образом, случайная величина как-то распределена на отрезке ( , ).

Время начинается с момента набора первой цифры номера и заканчивается, когда передана вся адресная информация. Абонент может прекратить набор, когда ему это покажется целесообразным. Число набираемых цифр зависит от типа соединения. Кроме того, некоторые абоненты делают паузы в процессе набора номера. Продолжая подобные рассуждения можно уяснить, что случайная величина распределена на неком отрезке ( , ).

Случайная величина нормируется в рекомендациях МСЭ серии Q. За это время должен быть создан тракт между терминалами вызывающего и вызываемого абонентов. Если такой процесс не реализуем или линия вызываемого абонента недоступна, то вызывающий абонент должен получить акустический сигнал "Занято".

За время должен завершиться процесс прослушивания вызывающим абонентом акустического сигнала "Контроль посылки вызова". Можно выделить три характерных события:

• вызывающий абонент повесил трубку, не ожидая ответа (передумал или потерял терпение);

• вызываемый абонент не ответил в течение допустимого (разумного) времени;

• соединение успешно установлено.

Несложно убедиться, что рассматриваемая случайная величина распределена на отрезке ( , ).

Далее начинается фаза разговора (обмена информацией). Случайной величине часто приписывают экспоненциальное распределение. Правда, в ряде работ, основанных на результатах измерений, говорится о целесообразности использования иных законов распределения. Можно отметить, что в общем случае областью изменения случайной величины считается диапазон .

Случайная величина определяет отрезок времени, который начинается после завершения разговора, а заканчивается освобождением всех коммутационных станций и транспортных ресурсов. Эта величина измеряется миллисекундами, что часто позволяет исключить ее из формул для расчета длительности занятия.

Можно ввести два коэффициента, которые будут характеризовать отношение между длительностью разговора и временем занятия. Первый коэффициент – определяется так:

(9)

Этот коэффициент позволяет оценить долю длительности разговора в суммарном времени занятия. Второй коэффициент – оценивает непроизводительное занятие сети (время, которое вызывающий абонент не оплачивает):

(10)

При росте длительности телефонного разговора (в общем случае – времени обмена информацией) коэффициенты и приближаются к единице и нулю соответственно. Оператор в принципе может влиять на длительность телефонного разговора или обмена информацией, изменяя, например, тарифную политику. Возможность управления такого рода ограничена коммуникативными потребностями абонентов. Эффективный способ для достижения разумных величин и – снижение непроизводительных затрат времени на операции, осуществляемые при установлении соединения.

Для решения ряда проектных задач необходимо определить среднюю величину поступающей нагрузки ( ). В качестве исходной информации часто используется среднее значение так называемой разговорной нагрузки ( ). Эту нагрузку проще всего измерять. По аналогии с коэффициентами и можно ввести множитель – , который связывает два вида нагрузки:

. (11)

Очевидно, что . Величина может быть определена в результате измерений или рассчитана на основе ранее введенных вероятностей . Ее аналогом можно считать коэффициент ASR (AnswerSeizureRatio), измеряемый рядом Операторов развитых стран.

В некоторых публикациях, посвященных нагрузке, используется иная терминология. В частности, термин "часо-занятие" заменяется словом "работа", а различие между понятиями "нагрузка" и "интенсивность нагрузки" отсутствует.

Нагрузка в телефонной сети распределяется между коммутационными станциями. Свойства этого распределения можно установить с помощью матрицы , которая определяет для момента времени долю трафика, направляемого из коммутационной станции в коммутационную станцию . Обычно эту матрицу определяют для ЧНН. Это означает, что можно оперировать величинами . Как правило, .

Нагрузку можно рассматривать (и, в ряде случаев, нужно) рассматривать как меру доходов Оператора. Обычно Операторы сетей электросвязи используют различные принципы для разработки тарифных планов на предоставляемые ими услуги. Для гипотетической услуги величина платы , которую должен внести абонент, может быть представлена такой суммой:

(12)

Величина – постоянная составляющая, которая не зависит от длительности соединения и полученной (или переданной) абонентом информации. Слагаемое определяется величиной трафика ( – коэффициент пропорциональности). Плата за полученную (или переданную) абонентом информацию обозначена через . В эту формулу не входит стоимость подключения терминала к телекоммуникационной сети.

Значение может быть равно нулю. Примером такой ситуации можно считать вызов оператора экстренных служб, осуществляемый набором двух цифр (01, 02, 03 и 04) в местной телефонной сети. Формула (12) для каждой конкретной услуги может включать одно, два или все три слагаемых.

Лекция 5 Виды систем передачи информации

Виды систем передачи информации. СМО с потерями заявок (полнодоступный пучок)

В полнодоступном пучке обслуживающих приборов любой вход может быть связан с любым свободным выходом. Характерным примером полнодоступного пучка служит так называемый "квадратный" коммутатор, в котором любой вход может быть соединен с любым выходом.

Рассмотри полнодоступный пучок, состоящий из исправных линий. Пусть на него поступает нагрузка с интенсивностью . Вероятность занятости ровно линий – определяется по такой формуле:

. (1)

Очевидно, что сумма всех вероятностей равна единице. Набор вероятностей { } называют усеченным распределением Пуассона. При распределение (1) становится пуассоновским.

Вероятность определяет то состояние СМО, когда все линии заняты. Она используется как оценка вероятности потерь заявок. Ее обозначают разными символами:

. (2)

Формула (2) была выведена Эрлангом. Иногда ее называют B-формулой Эрланга или первой формулой Эрланга. Есть и другие названия. Для вывода формулы (2) Эрлангом использовались предположения о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальном распределении длительности обслуживания заявок. Позже Б.А. Севастьянов доказал, что соотношение, полученное А.К. Эрлангом, справедливо для любого закона распределения длительности обслуживания заявок.

Для рассматриваемой формулы Эрланга справедливо рекуррентное соотношение следующего вида:

. (3)

Это соотношение очень полезно для минимизации ошибки вычислений вероятности потерь. Формула Эрланга табулирована. Практически все учебники содержат таблицы, которые позволяют вычислять одну из переменных в формуле (2). В подобных таблицах переменные меняются дискретно. Для емкости пучка это естественно. Для других величин (вероятность потерь и нагрузка) не всегда приемлема подобная форма представления данных.

Существует также ряд так называемых калькуляторов Эрланга. Это очень простые программы, обычно работающие под операционной системой Windows. Они позволяют быстро вычислять любую из величин, входящих в формулу (2), по двум заданным аргументам. Калькуляторы Эрланга можно найти в Internet.

Распределение числа занятых линий в пятилинейном пучке СЛ приведено ниже для трех значения интенсивности нагрузки.

Зависимость вероятности потерь от интенсивности поступающей нагрузки показана для нескольких значений количества линий .

Зависимость интенсивности поступающей нагрузки от вероятности потерь и емкости пучка СЛ показана при помощи двух графиков.

В первых автоматических системах коммутации использовался исключительно алгоритм обслуживания заявок с потерями. В следующих поколениях коммутационной техники стали применяться различные виды алгоритмов с ожиданием. Тем не менее, для пучков СЛ чаще всего используется алгоритм обслуживания с потерями. Если свободной СЛ нет, то вызов теряется. Такой способ обслуживания иногда называют алгоритмом с явными потерями. Принято различать три вида явных потерь и соответствующие вероятности:

• потери по вызовам – ;

• потери по нагрузке – ;

• потери по времени – .

Вероятность за период времени определяется отношением числа потерянных вызовов к их общему числу. Вероятность за тот же период времени вычисляется аналогично. Только необходимо делить величины потерянной и поступающей нагрузки. Потери по времени за период – та его часть, когда все поступающие вызовы будут потеряны из-за отсутствия ресурсов для обслуживания трафика. Эту часть периода называют также опасным временем. Для полнодоступного пучка, обслуживающего пуассоновский поток первого рода, справедливо тождество:

= = . (4)

Для анализа СМО с потерями часто необходимо определить среднее число занятых линий в пучке емкостью , который обслуживает нагрузку с интенсивностью . Эта величина определяется следующим образом:

. (5)

Естественно, что число занятых линий в пучке емкостью – случайная величина. Поэтому целесообразно оценить ее дисперсию – . Она вычисляется по такой формуле:

. (6)

Зависимость величин и от интенсивности поступающей нагрузки приведена на двух графиках.

Для случая справедливо такое соотношение: = = .

Первый график свидетельствует, что обслуженная нагрузка в расчете на одну линию растет по мере увеличения емкости пучка . Это явление объясняется природой трафика.

Для решения ряда задач необходимо знать интенсивность нагрузки, обслуженной линией полнодоступного пучка, – . Соответствующий график показывает, что лучше используются линии с меньшим значением .

Формула (2) определена для целых значений . В некоторых случаях интересны дробные значения . Тогда использует выражение, содержащее гамма-функцию, которая для целых значений определяется факториалом: Кроме того, формула (2) может использоваться для расчета вероятности потерь в СМО при поступлении потока, являющегося неординарным. Соответствующие формулы громоздки и приводятся редко.

Для пуассоновского потока второго рода, который генерируется конечным числом источников трафика, справедлива формула Энгсета. Речь идет о примитивном потоке с параметром . Длительность обслуживания заявок в СМО предполагается случайной с экспоненциальным распределением. Параметр примитивного потока определяется числом источников нагрузки ( ) и параметром потока вызовов свободного источника ( ):

. (7)

Введем единый параметр интенсивности нагрузки:

. (8)

С учетом принятых обозначений вероятность потери вызова можно представить следующим образом:

. (9)

Данное выражение представляет собой формулу Энгсета для вероятности потерь по вызовам. Тождество = = для пуассоновского потока второго рода нельзя считать верным. Для расчета вероятности потерь по времени справедлива такая формула:

. (10)

Очевидно, что . Этим СМО с входящим пуассоновским потоком второго рода отличаются от тех систем, для которых справедливо тождество = = . Потери по нагрузке определяются по такой формуле:

. (11)

Очевидно, что при и справедливо неравенство .

Вероятность потерь для регулярного потока, потока с равномерным распределением A(t) и пуассоновского потока, иллюстрируется при помощи семейства кривых для разных значений количества линий .

СМО с ожиданием

1. СМО вида

Распределение промежутков между заявками (вызовами) подчиняется экспоненциальному закону:

. (1)

Распределение длительности обслуживания вызовов подчиняется экспоненциальному закону:

(2)

Средние значения интервалов между вызовами и времени обслуживания определяется так:

, = . (3)

Условие стационарности СМО:

. (4)

Вероятности состояний СМО:

. (5)

Среднее число заявок в СМО:

. (6)

Дисперсия числа заявок в СМО:

. (7)

Среднее время ожидания заявок в очереди:

. (8)

Среднее время пребывания заявок в системе:

. (9)

ФР длительности ожидания начала обслуживания:

. (10)

ФР длительности задержки заявок в СМО:

. (11)

Зависимости длины очереди и времени пребывания заявок в СМО от загрузки системы.

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между заявками, покидающими СМО:

. (12)

По двум моментам легко определяется коэффициент вариации:

. (13)

2. СМО вида

Состояние определяет наличие в СМО – в обслуживании и на ожидании – ровно заявок. Вероятность такого состояния СМО обозначается через . Можно показать, что СМО рассматриваемого вида справедливы такие соотношения:

при

при (14)

.

Ожидание (Waiting) обычно обозначат буквой "W". В некоторых старых монографиях встречается обозначение . Вероятность ожидания определяется второй формулой Эрланга:

, (15)

где – вероятность потери вызова, рассчитанная по первой формуле Эрланга для СМО без возможности ожидания.

Средняя длина очереди в СМО рассматриваемого вида определяется по такой формуле: . (15)

Среднее время ожидания начала обслуживания рассчитывается по теореме Литтла:

. (16)

На графике показано поведение функции при различных величинах трафика и числа обслуживающих приборов.

ФР длительности ожидания:

. (17)

Для оценки эффективности дисциплины обслуживания с ожиданием определяется величина , при которой :

. (18)

На графике показано влияние дисциплины обслуживания заявок на поведение плотности .

3. СМО вида

Среднее время ожидания заявок в очереди (формула Полячека-Хинчина):

. (19)

Среднее время пребывания заявок в системе (формула Полячека-Хинчина):

. (20)

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР длительности ожидания начала обслуживания (уравнение Полячека-Хинчина):

. (21)

Преобразование Лапласа-Стилтьеса для ФР времени пребывания в СМО (уравнение Полячека-Хинчина):

. (22)

4. СМО вида

Вероятность потери заявок для рассматриваемой модели – определяется состоянием СМО , то есть . Для СМО с местами для ожидания эта вероятность определяется таким соотношением:

(23)

Для СМО с неограниченным числом мест для ожидания в очереди вероятности состояний определяются следующим образом:

(24)

Следовательно, вероятность того, что заявка застанет СМО в состоянии , будет определяться так:

(25)

Относительная ошибка в оценке вероятности потерь заявок – определяется простым соотношением:

(26)

На рисунке показана зависимость от при различных значениях . При достаточно малых вероятностях потерь (сравнительно больших значениях ) величины и быстро сближаются. Ошибка меньше для СМО с невысокой загрузкой. Кстати, – рекомендуемая величина загрузки для некоторых элементов сетей электросвязи. Если , то значения ошибки при представляются приемлемыми для оценки исследуемых характеристик СМО. Величины представляют интерес для режимов перегрузки отдельных элементов инфокоммуникационной сети. Для подобных задач использование величины вместо нельзя считать корректным из-за высоких значений ошибки .

Относительная ошибка при расчете

вероятности потерь заявок в двух видах СМО

Итак, при малой загрузке хорошей моделью системы можно считать СМО с неограниченным числом мест для ожидания.

Лекция 6 Фрактальные модели трафика. Неполнодоступные системы

Первый патент, выданный на неполнодоступную схему коммутации, датирован 1907 годом. С тех пор продолжаются исследования оптимальной реализации подобных схем коммутации. Значительная часть этих исследований основана на имитационном моделировании. Дело в том, что получение необходимых соотношений в виде точных формул не всегда представляется возможным или целесообразным.

Простейшая неполнодоступная схема приведена на первом рисунке. Первому потоку доступны линии под номерами 1 и 3, а второму – 2 и 3.

Рисунок 1

Для подобных схем, обслуживающих потоков с помощью линий, всегда выполняется следующее неравенство:

, (1)где – доступность, то есть число обсуживающих устройств, доступных любому входу. Равенство справедливо для полнодоступной схемы, а при рассматриваемая модель представляет собой полнодоступных схем.

Классическая задача построения неполнодоступной схемы состоит в выборе такого включения линий в контактное поле из элементов, при котором вероятность потери вызова будет минимальной. Одной из основных характеристик неполнодоступной схемы считается коэффициент уплотнения – :

. (2)

Величина этого коэффициента определяет среднее число групп (контактов) на одну линию (обслуживающий прибор). Для неполнодоступных схем, используемых в АТС, коэффициент уплотнения обычно находится в диапазоне [2, 4].

Различают два способа искания: упорядоченный и случайный. Способы включения линий в неполнодоступную схему делятся на такие виды: прямой, с перехватом и со сдвигом.

Для модели, показанной на втором рисунке, . Линии под номерами 3 и 6 включены прямо, линия 1 – с перехватом, а линия 4 – со сдвигом.

Рисунок 2

Выделяют два вида неполнодоступных схем: ступенчатые и равномерные. В ступенчатых схемах по мере роста номера шага искания растет число потоков, которым доступна линия. В равномерных схемах число потоков, которым доступна линия, всегда одинаково.

В телефонии неполнодоступное включение стало применяться для эффективного использования обслуживающих приборов и сокращения их численности (иными словами – для экономии затрат). Наибольшее распространение неполнодоступное включение нашло в эпоху создания электромеханических АТС. Это объясняется природой формирования стоимости точки поля (коммутации) – третий рисунок.

Рисунок 3

В электромеханических АТС обычно выделяют нагрузочных групп. Каждая такая группа представляет собой полнодоступную схему, которая может быть как однозвенной, так и многозвенной – рисунок 4.

Рисунок 4

Синтез неполнодоступной схемы сводится к поиску способа соединения выходов с линиями.

Следует отметить, что анализ некоторых видов неполнодоступных схем вновь становится актуальным. Это объясняется применением принципов неполнодоступного включения при построении коммутаторов на базе ATM и ряда других технологий.

Лекция 7 (1часа) Алгоритмы маршрутизации в сетях связи. Многозвенные коммутационные системы

Многозвенные коммутационные системы образуются за счет соединения ряда "строительных блоков". На пятом рисунке показана двухзвенная коммутационная система. Она состоит из коммутаторов на первом звене. Второе звено образовано из коммутаторов. На каждом звене используются коммутаторы с различным числом входов и выходов.

Рисунок 5

Расчет показателей качества обслуживания для многозвенных систем – очень сложная задача. Существует (в дополнение к имитационному моделированию) ряд аналитических методов анализа соответствующих моделей. Выбор метода зависит от свойств используемых звеньевых систем (в частности, выполнения функций "сжатия" или "расширения").

Многозвенные системы могут рассматриваться как сети массового обслуживания (СеМО). Анализ СеМО – одна из самых сложных задач теории телетрафика. В АТС электромеханического типа используется алгоритм обслуживания вызовов с явными потерями. Поэтому необходимо рассматривать СеМО без возможности ожидания. Чаще рассматриваются СеМО с ожиданием. Они служат хорошими моделями для современных систем коммутации.

Один из способов анализа многозвенных схем – построение вероятностных графов. На шестом рисунке показаны возможные вероятностные графы для трехзвенной схемы.

Рисунок 6

Структура каждого графа отображает возможные пути установления соединений. Если для каждого ребра графа определить вероятность успешного установления пути, то между точками "А" и "В" можно определить возможные потери. Установим для графа, показанного в левой части шестого рисунка, такие условия:

– вероятность успешного создания пути между точками "А" и "2-1";

– вероятность успешного создания пути между точками "А" и "2-2";

– вероятность успешного создания пути между точками "2-1" и "3";

– вероятность успешного создания пути между точками "2-2" и "3";

– вероятность успешного создания пути между точками "3" и "В".

Вероятность успешного установления пути между точками "А" и "3" – может быть определена по такой формуле:

. (3)

Тогда искомая вероятность потери вызова между точками "А" и "В" – рассчитывается следующим образом:

. (4)

Эта вероятность равна единице при таких условиях: нет путей между точками "3" и "В" (это эквивалентно ), нет путей между точками "А" и "2-1", а также между точками "2-2" и "3" (это равнозначно совпадению событий ). Очевидно, что для рассматриваемой модели наиболее важна доступность пути между точками "3" и "В".

Лекция 8(1часа) Анализ коммутационных систем связи. Повторные вызовы

Источники повторных вызовов иллюстрируются с помощью модели, показанной на седьмом рисунке. Между абонентом "А" и абонентом "В" показана схема установления соединения через две АТС и два транзитных узла.

Рисунок 7

Вероятность установления соединения равна . Следовательно, доля неудачных попыток абонента "А" может оцениваться вероятностью . Причины повторных попыток вызова объясняются потерями (в процессе установления соединения), занятостью абонента "В" или отсутствием ответа. Характеристики "повторения" попыток установления соединения в значительной мере определяются психологическими факторами. Наличие повторных попыток искажает ряд классических представлений о функционировании сети телефонной связи. Измерения показали, что величина потерь вызовов в несколько раз может превосходить уровень, определяемый по формуле Эрланга.

Одна из проблем анализа повторных попыток – сложность разделения первичных и вторичных вызовов. На восьмом рисунке показана соответствующая модель с указанием точек, в которых целесообразно производить измерения: X и Y. На самом деле для измерений обычно доступна только точка Z.

Рисунок 8

В первой таблице представлены данные измерений отношения успешных попыток к безуспешным для УАТС, ГТС и АМТС.

Таблица 1

Исход попытки	Отношение успешных попыток к безуспешным
	УАТС	ГТС	АМТС
Успешная	0,57	0,44	0,25
Безуспешная:	0,43	0,56	0,75
блокировка	0,04	0,29	0,56
ошибка набора	0,02	0,06	0,06
абонент занят	0,26	0,14	0,10
нет ответа	0,11	0,07	0,03

Поведение абонента может характеризоваться функцией настойчивости, которая определяется распределением вероятности для попытки. Одна из таких моделей – абсолютно настойчивый абонент, который продолжает попытки до бесконечности. Тогда при вероятности неуспешного установления соединения – на каждой из фаз обслуживания отношение интенсивности суммарного потока вызовов к интенсивности потока первичных вызовов определяется так:

. (5)

Для расчета СМО с повторными вызовами разработано множество моделей и методов, ориентированных на использование таблиц и/или программных продуктов. Для простых моделей получены аналитические выражения, позволяющие анализировать ряд СМО.

Полнодоступный пучок. Система с потерями.

Многофазные СМО и сети массового обслуживания

Допущения для СМО вида :

Распределение промежутков между заявками (вызовами) для первой СМО подчиняется экспоненциальному закону:

. (1)

Распределение длительности обслуживания вызовов для всех СМО подчиняется экспоненциальному закону:

(2)

Средние значения интервалов между вызовами и времени обслуживания определяется так:

, = . (3)

Условие стационарности каждой СМО:

. (4)

Сети массового обслуживания (СеМО)

Рассмотрим модель гипотетической сети, в которой установлено семь коммутаторов (К). Нас интересует процесс обмена информацией между К1 и К7. Между этими коммутаторами установлено три пути обмена пакетами, вероятность использования которых определяется величинами , и . Очевидно, сумма этих вероятностей равна единице.

Допустим, что каждый коммутатор может быть представлен системой телетрафика с ожиданием. Интенсивность обработки пакета равна , а интенсивность входящего потока – .

Допустим, что каждый коммутатор может быть представлен системой телетрафика вида . Тогда время пребывания пакета в коммутаторе определяется по такой формуле:

. (5)

Загрузка определяется отношением интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания. Например,

. (6)

Средняя задержка пакета на маршруте, выбираемом с вероятность , будет определяться так:

. (7)

Средняя задержка пакета в сети массового обслуживания ( ) может оцениваться с учетом вероятностей P_X, P_Y и P_Z:

= + + . (8)

Вычисление квантилей функции распределения длительности задержки пакетов существенно сложнее. Обычно для их расчета используют методы имитационного моделирования.

Многофазные системы массового обслуживания

В сети массового обслуживания можно выделить многофазные СМО, для которых осуществляется оценка показателей качества обслуживания трафика – задержки и/или потери заявок. Для произвольной структуры сети пример многофазной СМО можно представить такой совокупностью таких элементов:

Для такой модели можно вычислить все интенсивности потоков заявок. Обычно для многофазных СМО определяются такие характеристики:

• вероятность потери заявок;

• среднее значение времени задержки заявок;

• функция распределения длительности задержки заявок.

Для алгоритма обслуживания заявок с потерями можно использовать приближенную формулу, если вероятность блокировки на каждой фазе весьма мала:

. (9)

Для среднего времени задержки заявок действует правило аддитивности математического ожидания:

= + + … + . (10)

Для функции распределения времени задержки заявок необходимо найти свертку таких же функций, определенных для каждой СМО. Преобразование Лапласа-Стилтьеса вычисляется проще:

. (11)

Сложные СМО

1. СМО вида

Вероятности состояний ( ) определяются следующим образом:

, (12)

где – единственное решение уравнения

(13)

в области .

Распределение длительности ожидания для рассматриваемого класса СМО также определяется через переменную :

. (14)

Средняя длительность ожидания начала обслуживания рассчитывается так:

(15)

Для СМО вида уравнение (13), учитывая, что , принимает такой вид:

( . (16)

В уравнении (16) интересен только один корень в силу сформулированных ограничений – . Поэтому .

2. СМО вида

Среднее время ожидания начала обслуживания определяется следующим образом:

. (17)

В этой формуле используются такие оценки:

– дисперсия промежутков времени между заявками, поступающими в СМО;

– дисперсия времени обслуживания заявок в СМО;

– момент для времени между соседними заявками (процесс );

– момент для длительности периода свободного состояния СМО (система, если она работоспособна) находится в двух состояниях: занятости и свободности.

3. Другие сложные СМО

Другие сложные СМО могу быть представлены такими примерами:

• СМО вида

• ненадежный обслуживающий прибор;

• приоритетное обслуживание (разные алгоритмы);

• системы с обратной связью.

Преобразование модели многофазной системы

Модель СеМО, предназначенная для анализа IP сети

Модель процесса обмена IP-пакетами в сети NGN

Полнодоступный пучок. Система с повторными вызовами

Аспекты измерения трафика

1. Измерения трафика проводятся с целью решения ряда практических и теоретических задач:

• проектирование сетей электросвязи;

• управление сетями электросвязи;

• прогнозирование нагрузки;

• заключение соглашений SLA;

• проверка гипотез о количественных и качественных свойствах нагрузки;

• другие задачи.

2. Для организации процесса измерений трафика (с учетом конкретной цели измерения) необходимо выбрать:

• объект (или совокупность объектов) измерения;

• длительность периода измерения;

• микроструктуру периода измерения;

• вид и объем собираемых данных;

• величину допустимой ошибки;

• другие атрибуты.

3. Объектами измерений, которые выбраны для решения задачи, могут быть:

• общее количество поступающих вызовов;

• численность вызовов от конкретных источников трафика;

• доля состоявшихся разговоров;

• длительность обслуживания вызовов;

• задержки и потери вызовов;

• другие объекты.

4. Все виды измерений параметров трафика можно классифицировать следующим образом:

• по способу получения данных (автоматические и ручные);

• по способу регистрации данных (прямые и косвенные);

• по типу организации измерений (непрерывные, периодические и эпизодические);

• по охвату изучаемых объектов (сплошные и выборочные).

5. Примером непрерывного измерения нагрузки можно считать способ, основанный на контроле силы тока:

6. На практике сплошные измерения – до появления коммутационных станций с программным управлением – не производились из-за проблем финансового и организационного характера. В математической статистике всю изучаемую совокупность однородных элементов принято называть генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, выбранной для измерений, называют выборочной совокупностью. Обычно исследуется поведение выборочной совокупности. Различают три способа измерения:

• непрерывное наблюдение;

• сканирование исследуемого процесса;

• анализ случайных событий.

Использование схемы с амперметром – один из примеров непрерывного наблюдения за изучаемой величиной.

7. В процессе измерений можно получить математическое ожидание для генеральной совокупности ( ) и для выборочной совокупности ( ). Пусть и – численность -ой группы элементов в генеральной и выборочной совокупности. Объем элементов определяется по таким формулам:

и .

Степень расхождения между собой отдельных значений изучаемого процесса характеризуется дисперсией для и генеральной, и для выборочной совокупности:

и .

8. Пример рекомендаций по измерению трафика для полнодоступного пучка обслуживающих приборов. Будем считать, что время занятия равно единице, то есть Если время измерений более чем в 20 раз превышает среднее время занятия, то для распределения статистических оценок можно использовать нормальный закон. Некоторые важные постулаты:

I Точность измерения растет пропорционально .

II Абсолютная среднеквадратическая погрешность измерений для обслуженной нагрузки (Y) при малой вероятности потерь (менее 0,01) определяется по такой формуле:

.

III Относительная среднеквадратическая погрешность измерений для обслуженной нагрузки (Y) определяется по такой формуле:

.

IV Абсолютная среднеквадратическая погрешность измерений при малой вероятности потерь (менее 0,01) определяется по такой формуле:

.

V Относительная среднеквадратическая погрешность измерений при малой вероятности потерь определяется по такой формуле:

.

Допустим, что мы провели 10000 измерений вероятности потерь 0,01. Тогда относительная среднеквадратическая погрешность измерений составит примерно 14%, что не всегда удовлетворяет требованиям экспериментатора. В таблице приведено количество контрольных вызовов для выбранной точности оценки.

Нормативное значение для показателя	Количество контрольных вызовов при точности:
	5%	10%	20%
0,01	39600	9900	2500
0,02	19600	4900	1200
0,03	12900	3200	800
0,04	9600	2400	600
0.05	7500	1900	500

9. Указания для проектирования сети содержатся в рекомендациях МСЭ (ITU) и национальных стандартах Администрации связи.

МСЭ рекомендует, чтобы при международной телефонной связи для 30 максимальных ЧНН потери не превышали 0,01. В то же время для 5 таких ЧНН разрешается устанавливать норму потерь в 0,07.

Примерные нормы для потерь вызовов "от абонента до абонента" (end-to-end) для ТФОП приведены в таблице

Вид устанавливаемого соединения	Допустимые потери
В пределах ГТС	0,03 – 0,05
В пределах СТС	0,12
Внутризоновая связь	0,07
Междугородная связь (через ГТС)	0,07
Международная связь	0,13

Примерные нормы для коэффициента эффективности вызовов в ТФОП приведены в таблице.

Вид устанавливаемого соединения	Коэффициент эффективности вызовов
Местная связь (ГТС или СТС)	0,5 – 0,6 (1,6 – 2,0 на разговор)
Внутризоновая связь	0,4 – 0,5 (2,0 – 2,5 на разговор)
Междугородная связь (через ГТС)	0,4 (2,5 на разговор)

Средняя нагрузка по часам суток

Средняя пропускная способность одной линии пучка СЛ за сутки

Лекция 9 (2час) Звеньевые коммутационные системы.

Определение пропускной способности АТС

Рассмотрим простейшую модель АТС, состоящей всего из двух блоков (первый рисунок): коммутационное поле и устройство управления. На входе наблюдается случайный процесс , а на выходе – .

Простейшая модель АТС

Для такой АТС известны требования (рекомендации МСЭ серии Q.500):

• среднее значение длительности установления соединения через АТС не должно превышать ;

• для 95% всех вызовов длительность установления соединения через АТС не должна превышать .

Традиционно задача расчета пропускной способности АТС состоит в том, что бы для поступающего трафика определить минимум пропускной способности коммутационного поля и устройства управления.

Допустим, что процесс – простейший поток с интенсивностью . Будем также считать, что обслуживание любого вызова есть случайная величина с функцией распределения с коэффициентом вариации .

Очевидно, что можно выбрать две модели: и , для которых полученные оценки будут определять верхнюю и нижнюю границы большинства вероятностно-временных характеристик (ВВХ).

По формулам, определяющим математическое ожидание длительности задержки заявок и функцию распределения, можно найти две величины для интенсивности обслуживания: и . Очевидно, что (истинное значение интенсивности обслуживания) должно отвечать такому условию:

. (1)

Для системы величины и определяются из известных соотношений:

. , (2)

. .

Для системы величина определяется следующим образом:

. . (3)

Допустим, что в результате расчетов были выбраны верхняя и нижняя границы для интенсивности обслуживания: и . Если различие между ними существенно (с учетом рассматриваемой задачи), то необходимо перейти к анализу СМО вида . Если же различие не представляется существенным, то величина сопоставляется с неким рядом , который определяет возможные реализации аппаратно-программных средств АТС.

Если оценке соответствует величина , которая лежит в пределах , то пропускная способность выбирается как .

Следует различать вероятностно-временные характеристики, которые важны для коммутационного поля и устройства управления.

В рассматриваемом примере речь идет об устройстве управления. Для оценки пропускной способности коммутационного поля можно использовать первую формулу Эрланга.

Одна и та же величина интенсивности нагрузки пожжет быть получена за счет различных сочетаний сомножителей в формул

. (4)

При большом значении числа обрабатываемых вызовов ( ) и малом времени обслуживания (характерный пример – справочная служба) следует тщательно рассчитывать ВВХ, связанные с устройством управления. При большом значении времени обслуживания и малом числе вызовов (например, для модемного пула) наибольший интерес вызывает расчет ВВХ для поля коммутации и транспортных ресурсов.

2. Задачи, связанные с услугой "Прямая линия"

Услугу "Прямая линия" (второй рисунок) можно представить как симбиоз двух услуг Интеллектуальной сети (ИС): вызов, оплачиваемый вызываемым абонентом (FreePhone), и массовый опрос (MassCalling). Один из первых примеров практической реализации услуги "Прямая линия" – организация "Прямой линии Президента Российской Федерации".

Модель услуги "Прямая линия"

Рекомендуемые требования к обслуживанию трафика для услуги "Прямая линия" перечислены в таблице 1. Они определены для ЦОВ (центр обслуживания вызовов) в час наибольшей нагрузки (ЧНН).

Таблица 1

Требование к услуге "Прямая линия" по обслуживанию трафика	Рекомендуемая величина
Вероятность потери вызова в ЧНН	5%
Вероятность ожидания ответа в ЦОВ	50%
Среднее время ожидания ответа в ЦОВ	30 с
Время ожидания ответа в ЦОВ для 95% вызовов	60 с

На двух следующих графиках показаны тенденции изменения нагрузки (по часам суток) и длительности занятия.

Изменение нагрузки за сутки

Изменение времени занятия

Для подобных моделей расчет всех ВВХ осуществляется имитационным моделированием.

Лекция 10 (2 часа) Распределение нагрузки и потерь на сетях связи.

Современные задачи телетрафика

Развитие теории телетрафика можно рассматривать с различных позиций. Целесообразно остановиться на двух аспектах эволюции теории телетрафика. Первый из них связан с изменением принципов построения инфокоммуникационной системы. Основными движущими силами, стимулировавшими изменения этих принципов, можно считать:

• интенсивное развитие новых видов коммуникаций, среди которых следует выделить сети мобильной связи и Internet;

• изменение методов передачи и коммутации, обусловленное переходом на IP технологию.

Второй аспект эволюции теории телетрафика – разработка новых методов анализа СМО и СеМО. Процесс развития теории телетрафика можно считать перманентным.

Принципам построения инфокоммуникационной системы присущи качественные изменения. Даже если ограничиться только телефонной связью, то можно выделить такие важные тенденции:

• меняется структура телефонной сети за счет снижения численности уровней иерархии, что стимулирует разработку новых методов проектирования;

• уменьшение стоимости транспортных ресурсов снизило интерес к задачам, относящимся к функциям концентрации трафика, но одновременно возрос интерес к повышению эффективности функций распределения информации (маршрутизации);

• практическая реализация новых подходов к поддержке дополнительных услуг изменила не только принципы построения соответствующих компонентов сети, но и стимулировала разработку новых методов в теории телетрафика.

Если говорить о новых инфокоммуникационных технологиях, то можно выделить радикальные процессы развития теории телетрафика. В частности, по итогам последних международных конгрессов по теории телетрафика сделан вывод, кажущийся, на первый взгляд, неожиданным: решающим теоретическим инструментом исследований стала не столько математика, сколько физика.

Среди новых методов анализа СМО целесообразно выделить направление, которое связано с самоподобными процессами. Использование методов, разработанных для самоподобных процессов, позволяет улучшить анализ некоторых видов СМО.

Моделирование в теории телетрафика

При моделировании реальный объект (или процесс) обычно представляется в идеализированной форме, упрощающей исследование. Выбор модели – сложная задача. Ее решение осуществляется с учетом множества факторов.

Во-первых, следует четко выделить цель моделирования. Одна и та же система телетрафика может изучаться с помощью разных моделей, если исследуются, например, свойства выходящего потока и влияние дисциплины обслуживания на вероятность потери заявок. Во-вторых, должны быть установлены основные причинно-следственные связи, важные для решаемой задачи. В-третьих, следует оценить желаемую точность результатов моделирования.

Существует несколько видов моделирования. Сначала в теории телетрафика были использованы методы моделирования, основанные на реальных аппаратных средствах. В частности, искусственное замыкание и размыкание шлейфа абонентской линии может считаться простейшим примером такого моделирования. Подобные эксперименты часто связывают с физическими моделями. Этим моделям свойственно изменение масштаба. К достоинствам физических моделей следует отнести их адекватность реальным объектам (или процессам). Обычно реализация этих моделей (если речь не идет об эксперименте на уже готовом оборудовании) обходится довольно дорого. Существенно то, что данный вид моделей не годится в тех случаях, когда оборудование только разрабатывается.

В настоящее время в теории телетрафика широко используется математическое моделирование. Оно незаменимо в тех случаях, когда исследование системы с помощью аналитических методов не представляется возможным. Также полезным математическое моделирование становится для проверки ряда допущений, свойственных аналитическим методам исследования систем телетрафика. Еще одна сфера применения – выбор числа членов в рядах, включающих бесконечное количество слагаемых.

Математическое моделирование систем телетрафика выполняется на ЭВМ за счет составления программы или набора программ. Эти программы имитируют процессы по обслуживанию заявок. Поэтому в теории телетрафика очень часто используется термин "имитационное моделирование".

Иногда используется сочетание физических и математических моделей. В частности, японские специалисты при изучении вероятностно-временных характеристик системы общеканальной сигнализации изготовили оборудование, а на его входе имитировали с помощью программного датчика случайных чисел входящий поток заявок – сигнальных единиц.

Моделирование случайных чисел – важный этап создания имитационных моделей. Известны два способа получения случайных чисел:

• использование физических генераторов (датчиков) случайных чисел (шум в радиоэлектронных приборах и трактах, радиоактивное излучение);

• составление программ, позволяющих получить псевдослучайные числа (они могут быть очень близки к случайным числам).

В настоящее время используются исключительно программные датчики. Обычно случайные числа генерируются так, чтобы они принадлежали интервалу . При этом закон распределения должен быть равномерным. Известно, что для интервала функции и определяются следующим образом:

, .

На рисунке показаны функции и . Основные характеристики равномерного распределения представлены в таблице.

Равномерное распределение на интервале

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
		0	–1,2

Очевидно, что для интервала среднее значение равно , а дисперсия – .

Моделированием случайной величины называют процесс получения ее значений. Это означает, что для формирования потока вызовов, поступающих, например, в АТС, следует разработать процесс, который позволяет выделять моменты занятия входов на ступени абонентского искания. Ступень абонентского искания в АТС – с точки зрения имитационной модели – может рассматриваться как система телетрафика.

Случайные числа, получаемые с помощью программных генераторов, необходимо проверить с точки зрения закона их распределения на интервале . Для этого можно использовать сравнение статистического и эмпирического распределений, выбрав заранее критерий согласия. Часто используется критерий Пирсона – .

Для того чтобы убедиться в "похожести" полученного распределения и закона равномерной плотности, целесообразно проверить математическое ожидание случайной величины (оно должно быть близким к 0,5), коэффициент вариации (он должен быть равен примерно 0,577), коэффициент асимметрии (он должен быть близок к нулю) и коэффициент эксцесса (он не должен заметно отличаться от минус 1,2).

Получив случайные (псевдослучайные) числа, необходимо перейти к формированию последовательности случайных величин с исследуемым законом распределения. Обычно используется один из следующих приемов:

• метод обратных функций (то есть, прямого преобразования равномерно распределенных случайных чисел);

• приближенные методы;

• метод отсеивания чисел из первоначальной последовательности случайных чисел (метод генерации Неймана);

• методы, основанные на центральной предельной теореме.

Допустим, что случайная величина непрерывна, а соответствующая плотность распределения вероятности задана функцией . Тогда функция распределения задана известным выражением:

.

Обычно в качестве нижнего предела интегрирования в теории телетрафика используется ноль.

Теорема. Если случайная величина имеет плотность распределения вероятности , то распределение случайной величины

является равномерным на интервале . Из этой теоремы следует Правило: для того чтобы найти возможное значение непрерывной случайной величины , надо выбрать случайное число и решить относительно такое уравнение:

.

Справедливо и обратное утверждение. Если – функция распределения непрерывной случайной величины , а – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале , то случайная величина имеет функцию распределения . В данном случае – функция, обратная по отношению к .

Таким образом, необходимо:

• реализовать случайную величину , которая распределена равномерно на интервале ;

• вычислить значение случайной величины по формуле .

Один из важных для теории телетрафика случаев – простейший входящий поток. Это означает, что случайная величина подчиняется экспоненциальному закону:

.

Необходимо найти формулу для моделирования случайной величины с помощью равномерно распределенной случайной величины .

Шаг 1. Находится функция, обратная по отношению к . Известно, что . Решение относительно тривиально: .

Шаг 2. Очевидно, что случайная величина (так же как и случайная величина ) равномерно распределена на отрезке . Поэтому справедлива также и формула следующего вида:

Шаг 3. Теперь числа с экспоненциальным распределением могут быть получены из значений по такой формуле: .

К сожалению, не всегда удается решить соответствующие уравнения в явном виде. Приходится прибегать к приближенным методам. В частности, используется кусочная аппроксимация функций .

Три других метода получения требуемых законов распределения описаны в работах по моделированию. Одна из последних публикаций – монография [1].

Входящий поток заявок на входе СМО (системы телетрафика) может быть задан последовательностью появления требований: . С практической точки зрения удобнее оперировать длительностью промежутка между соседними требованиями: . Способ формирования величин с заданным законом распределения был изложен выше. Теперь необходимо определить свойства СМО и проследить за временами обслуживания заявок и соответствующими процессами (потери и задержки).

В качестве примера моделирования рассматривается алгоритм, предложенный в монографии [2].

Лекция 11 (1час) Измерения параметров нагрузки и потерь.

Фракталами называются структуры, состоящие из частей, которые, в каком-то смысле, подобны целому. Детерминированные фракталы имеют ясный физический смысл. Например, тонна воды, ведро воды и капля воды имеют одну и ту же формулу – . То есть, от изменения масштаба (в данном примере – объема) структура воды не меняется. Этот вывод не может считаться справедливым в отношении свойств льда, если изучается прочность конкретного сосуда для хранения воды. С этой точки зрения в определении важным представляются подчеркнутые слова: "в каком-то смысле".

Другой пример – уравнение прямой: . При изменении величины отрезка , на котором мы графически оцениваем значения , поведение функции остается неизменным. Если рассматривать кривую , то вид графика будет в значительной мере определяться величиной отрезка и его расположением на оси . Очевидно, что мерой "фрактальности" служит поведение производной . Если она постоянна, то функция удовлетворяет определению фрактала. В частности, кроме функции это свойство присуще экспоненте.

В теории телетрафика приходится иметь дело с так называемыми стохастическими фрактальными процессами. Определение фрактала в этом случае необходимо изменить. Для стохастического фрактала неизменность процесса при различных масштабах (при вариации времени наблюдения) можно оценивать корреляцией. Ее существование на неком отрезке времени называют долговременной зависимостью.

Характерной особенностью корреляции для фрактальных процессов считается тот факт, что она убывает по полиномиальному закону. Для привычных (в теории массового обслуживания) моделей убывание этой функции обычно представимо экспонентой.

В технической литературе вместо термина "фрактальность" иногда используют слово "самоподобность" – перевод с английского "self-similarity". Аналогично, вместо термина "долговременная зависимость" (long-termdependence) употребляется слово "персистентность" (калька с английского "persistence").

Обычно для задач, связанных с теорией телетрафика, вводится определение для фрактального процесса, основанное – в большей мере – на степенных соотношениях исследуемых величин при изменении масштаба. С этой точки зрения, детерминированные и стохастические фракталы мало схожи между собой. Одно из определений имеет такой вид: "трафик проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах".

Это определение связано с весьма важной особенностью процессов, присущих ряду систем телетрафика. Функции и/или имеют распределения с так называемыми "тяжелыми хвостами" – heavy-taileddistributions. Обычно речь идет о распределениях, для которых коэффициент вариации больше единицы. Примером такого распределения может служить функция, описывающая длительность сеансов связи в Интернет. Действительно, по статистике количество сеансов с большей длительностью велико по сравнению со временем телефонного разговора. Поэтому наличие "тяжелых хвостов" – реальная ситуация. Другой пример – появление "пачек" вызовов. В этом случае функция "хуже" экспоненциальной зависимости в том смысле, что или даже .

Входящий поток заявок представляется удобным процессом для объяснения свойств фрактальности в системах телетрафика. В частности, одно из объяснений основано на свойстве "последействие". Отсутствие последействия (которое характерно, например, для простейшего потока) не всегда приемлемо для модели исследуемой системы. В подобных случаях вводятся потоки с ограниченным последействием. Их примером может служить поток Пальма – стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием.

Если зависимость от "прошлого" ярко выражена, то модели простейшего потока, потока Пальма и другие (в частности, просеянные) не адекватно представляют функцию . Долговременная (долгосрочная) зависимость от "прошлого" может быть учтена при использовании моделей, основанных на свойствах фрактальности. Для измерения этой зависимости может использоваться функция корреляции. В качестве значений случайного процесса удобно рассматривать количество вызовов, поступающих в единицу времени. Это число целое и положительное. Тогда, случайный процесс можно рассматривать как дискретную последовательность случайных величин. Аргументом будет считаться порядковый номер такой единицы времени:

.

Предположим, что все рассматриваемые далее случайные процессы являются стационарными с ограниченной ковариацией:

.

Дисперсия и автокорреляционная функция определяются следующими выражениями:

, .

Для оценки фрактальности необходимо рассмотреть агрегированные процессы, построенные при усреднении значений исходного процесса на непересекающихся интервалах времени:

.

Определение, данное ранее (трафик проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах), теперь может быть дополнено следующим образом:

Во-первых, убывание дисперсии для фрактальных процессов представимо соотношением , то есть вариация агрегированных процессов (средних выборок) уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. Во-вторых, долгосрочная зависимость для фрактальных процессов выражается в том, что автокорреляционная функция расходится: .

Эта функция спадает гиперболически. Иногда вводится третье дополнение, касающееся флуктуационного характера спектра мощности случайного процесса. Применительно к теории телетрафика спектр мощности случайного процесса считают подобным спектру сигнала.

Понятно, что приведенные выше соображения не пригодны для практического выявления свойств фрактальности. Для решения данной задачи предложен параметр Хёрста (Hurst). Он назван по фамилии автора этой идеи. Для выборочного случайного набора определяют выборочное среднее, выборочную дисперсию и интегральное отклонение:

.

Изменчивость случайного процесса на интервале определяется как неубывающая функция длины следующего интервала (для ):

.

Хёрст показал, что для многих естественных процессов справедливо соотношение такого вида:

.

Параметр Хёрста лежит в диапазоне от 0,5 до 1,0. Для процессов, которые не относятся к фрактальным, . Для фрактальных процессов с так называемой долгосрочной зависимостью параметр Хёрста лежит в диапазоне от 0,7 до 0,9.

Трафик данных, как считает ряд специалистов, хорошо описывается фрактальными процессами. Измерения трафика речи свидетельствуют, что они лишь в исключительных случаях представимы фрактальными процессами. На самом деле даже параметр Хёрста не связан с характеристиками, определяющими фрактальность случайного процесса.

Вопросы для контроля самостоятельной работы студентов (СРС)

1. Дайте определение многозвенных схем.

2. Чему равняется вероятность занятости одной промежуточной линии?

3. Перечислите основные характеристики качества многозвенных схем.

4. Как определяется среднее число потерянных вызовов для одного входа?

5. Какова вероятность поступления очередного вызова для простейшего потока?

6. Опишите ситуации, при которых происходят потери вызова в представленной трехзвенной схеме.

Задание 2. Определение основных характеристик цифровой системы.

7. Вычислить среднюю загруженность канала связи, среднее время передачи одного пакета и величину нагрузки в сети.

8. Выполнить моделирование цифровой сети с заданными параметрами ПРВ трафика.

9. Сравнить полученные результаты расчета с результатами моделирования.

10. Изменить параметры ПРВ трафика таким образом, чтобы вероятность потери пакетов рв 0,5.

11. Выполнить моделирование цифровой сети с новыми параметрами ПРВ и на основе полученных результатов вычислить величину потерь.

12. Перечислите основные ПРВ, используемые в цифровых системах связи.

13. Как повлияет на величину нагрузки уменьшение среднего размера передаваемого пакета.

14. Как определяется среднее время передачи пакета по каналу связи?

15. Как повлияет на величину нагрузки увеличение интенсивности передачи пакетов по каналу связи?

16. Какие способы соединения двух ПК между собой Вам известны?

17. Как связана величина нагрузки с интенсивностью генерации пакетов сетевой платой и интенсивностью передачи пакетов по каналу связи?

Тестовые вопросы дл самоконтроля

1. Какой подход сейчас более предподчтителен при построении инженерных систем здания? К чему сейчас стремятся?

1. в здание создают единую кабельную систему

2. для каждой системы прокладывают в здание свои кабели

3. монтаж систем после окончания ремонта в помещениях

4. прокладка всех кабельных систем только за фальшстенами

2. Что не является причиной в интеграции нескольких инженерных систем здания в единую кабельную систему?

1. существенное увеличение стоимости проектных работ

2. традиционная разобщенность разработчиков специальной аппаратуры (телефонной, компьютерной, охранной, противопожарной и пр.)

3. «межведомственные барьеры» между различными службами предприятия

4. специфические требования к некоторым системам (например, требования секретности)

3. Можно ли применять к кабельной системе выражение «торговая марка СКС»?

1. да

2. нет

4. После монтажа и проверки качества СКС выдается:

1. сертификат производителя

2. государственный сертификат

3. аттестат соответствия

4. акт классификации СКС

5. Какое качество не присуще СКС?

1. резервирование

2. структуризация

3. универсальность

4. избыточность

6. Какие стандарты наиболее предпочтительно использовать в России при проектировании полноценной СКС?

1. ISO/IEC

2. TIA/EIA

3. CENELEC

4. ГОСТ Р

7. Что не относится к функциональному компоненту СКС?

1. кабелепровод

2. кабель

3. коммутационное оборудование

4. информационная розетка

8. Что относится к функциональному компоненту СКС? (Выберите два варианта)

1. волоконно-оптический кабель

2. информационная розетка

3. кабельный канал (или лоток)

4. кабельный организатор

9. Какой подсистемы нет в СКС? (Выберите два варианта)

1. подсистема городского ввода

2. подсистема внешних магистралей

3. подсистема структурных магистралей

4. подсистема внутренних магистралей

10. Какой подсистемы нет в СКС?

1. подсистема городского ввода

2. подсистема внешних магистралей

3. магистральная подсистема территории

4. магистральная подсистема здания

11. Что неприменимо в топологии СКС?

1. подключение по общей шине

2. подключение в кольцо

3. подключение по топологии звезда

4. подключение по топологии иерархическая звезда

12. Какой элемент не используется при построении вертикальной подсистемы?

1. точка консолидации

2. распределительное устройство

3. кабель

4. кроссовое устройство

13. Какое выражение наиболее полно описывает термин «администрирование СКС»?

1. это способы и средства управления кабельной системой на протяжение всего срока ее эксплуатации

2. это обозначение и маркировка всех элементов кабельной системы

3. это произведение коммутации в узлах СКС

4. это настройка коммутационного оборудование

14. Какой тип помещений не является техническим помещением в СКС?

1. рабочий кабинет

2. аппаратная

3. кроссовая

4. городской ввод

15. Что запрещено делать в СКС?

1. параллельный отвод проводников на кроссовом поле

2. подключение рабочего места от кроссовой другого этажа

3. использовать патч-корд для подключений в кроссе

4. использовать патч-корд для подключений на рабочем месте

16. Что запрещено делать в СКС? (Выберите два варианта)

1. подключать кабель вертикальной подсистемы к информационной розетке

2. подключать кабель подсистемы СКС непосредственно к активному оборудованию

3. совмещение кроссовой здания с кроссовой этажа

4. совмещение кроссовой здания с кроссовой территории

17. Что не применимо при монтаже рабочего места?

1. подсоединение 4-хпроводного кабеля к ИР рабочего места

2. установка более двух ИР на каждое рабочее место

3. одно рабочее место обслуживает площадь не более 60 кв. м

4. использование технологии IDC при монтаже ИР

18. Какое выражение наиболее полно описывает термин «канал»?

1. тракт передачи сигналов по СКС от одного активного устройства до другого

2. часть тракта передачи сигналов, включающая в себя стационарный кабель и соединители на его концах

3. часть тракта передачи сигналов, включающая в себя горизонтальную подсистему

4. тракт передачи сигналов по СКС от активного устройства до распределительного устройства

19. Какое выражение наиболее полно описывает термин «стационарная линия»?

1. часть тракта передачи сигналов, включающая в себя стационарный кабель и соединители на его концах

2. тракт передачи сигналов по СКС от одного активного устройства до другого

3. часть тракта передачи сигналов, включающая в себя горизонтальную подсистему

4. тракт передачи сигналов по СКС от активного устройства до распределительного устройства

20. Что может содержать точка консолидации?

1. не должна содержать активных устройств

2. содержит концентратор

3. содержит коммутатор

4. содержит концентратор или коммутатор

21. Каналы и линии в горизонтальной подсистеме СКС должны обеспечивать электромагнитные параметры:

1. не ниже класса D

2. не ниже класса C

3. не ниже класса E

4. не ниже категории 3

22. Какое утверждение верно?

1. каналы класса С можно использовать только для телефонии

2. каналы класса D можно использовать только для телефонии

3. каналы класса D нельзя использовать для телефонии

4. каналы класса С нельзя использовать для телефонии

23. Какое утверждение верно?

1. в горизонтальной подсистеме должны использоваться каналы не ниже класса D

2. только каналы класса D можно использовать в горизонтальной подсистеме

3. каналы класса D нельзя использовать для телефонии

4. каналы класса С нельзя использовать для телефонии

24. Какой класс будет иметь линия, если используется кабель категории 5, а розетки и коммутационные панели категории 6?

1. класс D

2. класс E

3. смешанный класс

4. нельзя определить класс

25. Что характеризует термин «возвратные потери» для электрической части СКС?

1. степень неоднородности волнового сопротивления по всей длине линии и степень согласованности волнового сопротивления с полным сопротивлением нагрузки

2. уменьшение амплитуды импульсов на выходе канала или линии

3. восприимчивость пары к помехам, обусловленным существованием сигналов в соседних линиях парах

4. разность между максимальным и минимальным значениями среди измеренных сигналов в каждой паре

26. Что характеризует термин «потери ввода» для электрической части СКС?

1. уменьшение амплитуды импульсов на выходе канала или линии

2. степень неоднородности волнового сопротивления по всей длине линии и степень согласованности волнового сопротивления с полным сопротивлением нагрузки

3. восприимчивость пары к помехам, обусловленным существованием сигналов в соседних линиях парах

4. разность между максимальным и минимальным значениями среди измеренных сигналов в каждой паре

27. Что характеризует термин «переходное затухание на ближнем конце (NEXT)» для электрической части СКС?

1. восприимчивость пары к помехам, обусловленным существованием сигналов в соседних линиях парах

2. уменьшение амплитуды импульсов на выходе канала или линии

3. степень неоднородности волнового сопротивления по всей длине линии и степень согласованности волнового сопротивления с полным сопротивлением нагрузки

4. разность между максимальным и минимальным значениями среди измеренных сигналов в каждой паре

28. Что характеризует термин «перекос задержек» (временной параметр) для электрической части СКС?

1. разность между максимальным и минимальным значениями среди измеренных сигналов в каждой паре

2. восприимчивость пары к помехам, обусловленным существованием сигналов в соседних линиях парах

3. уменьшение амплитуды импульсов на выходе канала или линии

4. степень неоднородности волнового сопротивления по всей длине линии и степень согласованности волнового сопротивления с полным сопротивлением нагрузки

29. Какое утверждение неверно?

1. в канале должны использоваться кабели и компоненты только одной категории

2. в СКС могут использоваться кабели, соединительное оборудование и шнуры, которые удовлетворяют стандарту ISO/IEC 11801:2002(E)

3. все компоненты канала должны иметь одно и тоже значение волнового сопротивления

4. в канале могут использоваться кабели и компоненты разных категорий

30. Стандарт ISO/IEC 11801:2002(E) рекомендует в горизонтальной подсистеме создавать каналы:

1. не ниже класса D

2. не ниже класса E

3. не ниже класса 5

4. не ниже класса 5e

31. Какое утверждение неверно при реализации электрической части СКС?

1. длина стационарной линии в горизонтальной или магистральной подсистемах не должна превышать 100 м

2. длина канала в горизонтальной подсистеме не должна превышать 100 м

3. длина канала в магистральной подсистеме не должна превышать 100 м

4. длина стационарной линии в горизонтальной или магистральной подсистемах не должна превышать 90 м

32. Что не относится к каналообразующим компонентам реальной СКС?

1. кабелепроводы

2. кабели

3. распределительные устройства (кроссы)

4. информационные разъемы

33. Какое выражение неверно применительно к кабелю типа витая пара?

1. одножильный провод обладает большим затуханием сигнала, чем многожильный

2. одножильный кабель применяют для стационарной прокладки в кабельных трассах

3. многожильный провод обладает большим затуханием сигнала, чем одножильный

4. многожильный кабель используют для изготовления коммутационных шнуров

34. Что не относится к технологии IDC?

1. эта технология использует сварочный аппарат

2. это тип соединения врезной контакт

3. эта технология использует ударный инструмент

4. имеется возможность неоднократного соединения

35. Что дает совместное использование общей среды передачи данных

1. позволяет упростить и удешевить решение

2. позволяет использовать ее только в радиосетях

3. позволяет использовать ее только в сетях на основе коаксиального кабеля

4. позволяет использовать Token Ring и FDDI

36. Какой основной недостаток совместного использования общей среды передачи данных?

1. плохая масштабируемость сети

2. не позволяет упростить и удешевить решение

3. не позволяет использовать этот метод в сети Ethernet

4. не позволяет использовать ее в сетях на основе коаксиального кабеля

37. На каком уровне модели OSI реализуются функции технологий локальных сетей? (Выберите два ответа)

1. физический

2. канальный

3. логический

4. сетевой

38. На какие подуровни делится канальный уровень локальных сетей? (Выберите два ответа)

1. уровень управления логическим каналом (LLC)

2. уровень управления доступом к среде (MAC)

3. уровень случайного доступа

4. уровень детерминированного доступа

39. Каковы функции подуровня MAC канального уровня? (Выберите два ответа)

1. обеспечение доступа к среде

2. передача кадров между конечными узлами

3. организует интерфейс с прилегающим к нему сетевым уровнем

4. обеспечивает доставку кадров с заданной степенью надежности

40. Каковы функции подуровня LLC канального уровня? (Выберите два ответа)

1. организует интерфейс с прилегающим к нему сетевым уровнем

2. обеспечивает доставку кадров с заданной степенью надежности

3. обеспечение доступа к среде

4. передача кадров между конечными узлами

41. Что не реализовано в методе доступа CSMA/CD? (Выберите два ответа)

1. мультиплексирование

2. идентификация сетевых интерфейсов

3. коллективный доступ

4. опознавание несущей

42. Что не реализовано в методе доступа CSMA/CD? (Выберите два ответа)

1. демультиплексирование

2. идентификация сетевых интерфейсов

3. коллективный доступ

4. обнаружение коллизий

43. Какое из утверждений справедливо по отношению к сетям CSMA/CD?

1. данные от передающего узла проходят через всю сеть, принимаются и анализируются каждым узлом

2. сигналы посылаются непосредственно получателю, если известен его MAC-адрес

3. данные от передающего узла поступают к ближайшему коммутатору, который направляет их непосредственному адресату

4. данные всегда передаются в режиме широковещания

44. «Столкновение» данных в сети Ethernet из-за их одновременной передачи – это:

1. коллизия

2. jam-последовательность

3. домен коллизий

4. обнаружение коллизии

45. Часть сети Ethernet, все узлы которой конкурируют за общую разделяемую среду передачи

1. домен коллизий

2. домен jam-последовательности

3. домен концентраторов (хабов)

4. все перечисленные варианты неверные

46. Для какой физической среды не существует спецификации Ethernet?

1. радиоканал

2. две пары витой пары

3. одномодовое оптоволокно

4. коаксиальный кабель

47. Какое из описаний широковещания является наилучшим?

1. отправка одного кадра многим станциям одновременно

2. отправка одного кадра всем коммутаторам для обновления таблиц коммутации

3. отправка одного кадра в сеть Интернет

4. все перечисленные варианты неверные

48. Какое устройство обеспечивает микросегментацию сети?

1. коммутатор

2. коммутизатор

3. маршрутизатор

4. медиаконвертор

49. Что не применимо при использовании разделяемой среды?

1. масштабируемость

2. простая топология сети

3. метод доступа к разделяемой среде регулирует поток кадров

4. низкая стоимость сетевого оборудования

50. Какую задачу не позволяет решить логическая структуризация сети?

1. повышение универсальности

2. повышение производительности в сегменте

3. повышение гибкости сети

4. повышение безопасности данных

51. Какую задачу не позволяет решить логическая структуризация сети?

1. реализация приоритезации трафика

2. повышение гибкости сети

3. повышение безопасности данных

4. повышение управляемости сети

52. Что не делает мост?

1. преобразует поле адреса кадра

2. принимает кадр данных

3. анализирует адрес назначения кадра

4. буферизует кадр

53. Какие устройства работают по алгоритму прозрачного моста? (Выберите два варианта)

1. мост

2. коммутатор

3. концентратор

4. репитер

54. Какие устройства схожи по своему функционалу на канальном уровне?

1. коммутатор и мост

2. мост и концентратор

3. репитер и мост

4. коммутатор и маршрутизатор

55. Как заполняется таблица коммутации коммутатора?

1. пассивное наблюдение за трафиком, просматривая адрес источника кадра

2. пассивное наблюдение за трафиком, просматривая адрес назначения кадра

3. заполняется системным администратором

4. копируется из маршрутизатора

56. Что имеет каждый порт коммутатора?

1. номер порта

2. MAC-адрес

3. IP-адрес

4. нет ничего из перечисленного

57. Какое из описаний широковещания является наилучшим?

1. отправка одного кадра многим станциям одновременно

2. отправка одного кадра всем коммутаторам для обновления таблиц коммутации

3. отправка одного кадра в сеть Интернет

4. все перечисленные варианты неверные