1.2. Обобщенные силы

Обобщенной силой Q, соответствующей обобщенной координате q, называют скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы заданных сил, на перемещении механической системы, вызванном элементарным приращением δq координаты q, к величине этого приращения, т.е.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так как

то размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q – линейная величина, то Q имеет размерность силы (в системе СИ – Н или кН); если q – угол (измеряется в радианах), то Q будет измеряться в Н·м, т.е. имеет размерность момента; если q – объем (например, положение поршня в цилиндре можно определить объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в Н/м², т.е. имеет размерность давления, и т.д. Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент, давление).

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенная сила равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, т.е.

1.3. Условия равновесия системы в обобщенных координатах.

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех заданных сил (и сил трения, если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т.е.

В обобщенных координатах для механической системы с одной степенью свободы это условие дает

Так как элементарное приращение обобщенной координаты , то для равновесия механической системы с одной степенью свободы необходимо и достаточно, чтобы обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной координате, была равна нулю:

(1)

Случай потенциальных сил. В этом случае условие равновесия (1) дает

Отсюда следует, что при равновесии полный дифференциал функции П равен нулю, т.е.

Таким образом, механическая система, на которую действуют потенциальные силы, находится в равновесии в тех положениях, для которых потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максимум).

1.4. Об устойчивости равновесия консервативной механической системы

Рассмотрим механическую систему с голономными и стационарными связями, имеющую одну степень свободы и находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему материальных точек называют консервативной. Уравнение равновесия в обобщенных координатах имеет вид:

Q = 0. (а)

Так как в случае консервативных сил

(б)

то для консервативной системы уравнение равновесия (а) принимает вид:

(в)

Отсюда следует, что положениями равновесия рассматриваемой системы в случае консервативных сил являются те положения, при которых потенциальная энергия этой системы принимает экстремальные значения. Однако, уравнение (в) не устанавливает, являются ли рассматриваемые равновесные положения системы устойчивыми или неустойчивыми.

Условия устойчивости равновесия системы с конечным числом степеней свободы устанавливаются следующей теоремой Лагранжа-Дирихле: равновесные положения консервативной системы, в которых ее потенциальная энергия достигает минимума, устойчивы.

Равновесное положение консервативной системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено малым отклонением и малой начальной скоростью , совершает малые колебания около этого равновесного положения.

Теорема Лагранжа-Дирихле устанавливает, что равновесие механической системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивым, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум.

Для системы с одной степенью свободы существование минимума потенциальной энергии в положении равновесия определяется следующим условием:

(г)

Это уравнение используют при решении задач на устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 1 изображены равновесные положения физического маятника и шарика, при которых их центры тяжести занимают найнизшие положения по отношению к точке О. В этих положениях потенциальная энергия тел имеет минимум и равновесие является устойчивым.

На рис. 2 центры тяжести физического маятника и шарика занимают наивысшие положения. При этом потенциальная энергия тел имеет максимум и равновесие является неустойчивым.

В положениях, изображенных на рис. 3, физический маятник и шарик находятся в положении безразличного равновесия.