Содержание

стр.

1. Уравнение Лагранжа ІІ рода……………………………………………………...

   0. 1.1. Обобщенные координаты и обобщенные скорости……………………………

   1. 1.2. Обобщенные силы………………………………………………………………….

   2. 1.3. Условия равновесия системы в обобщенных координатах……………………

   3. 1.4. Об устойчивости равновесия консервативной механической системы………...

   4. 1.5. Уравнение Лагранжа……………………………………………………………….

2. Методика решения задач……………………………………………………………

3. Свободные колебания системы с одной степенью свободы………………...……

4. Задание Д9. Применение уравнения Лагранжа ІІ рода для изучения движения механической системы………………………………………………………………

5. Пример выполнения задания Д9……………………………………………………

6. Задание Д10. Применение уравнения Лагранжа ІІ рода для исследования малых колебаний механической системы с одной степенью свободы………………………….……………………………………………………

7. Пример выполнения задания Д10...…………………………………………….......

8. Приложение 1. Задание Д8. Применение общего уравнения динамики для изучения движения механической системы……………………………………….

9. Приложение 2. Осевые моменты инерции однородных плоских фигур………...

Литература

1. Уравнение Лагранжа ιι рода.

   0. 1.1. Обобщенные координаты и обобщенные скорости.

Обобщенными или лагранжевыми координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры любой размерности, при помощи которых можно в любой момент определить положение этой системы и, следовательно, выразить декартовы координаты всех ее точек через эти параметры.

Число независимых обобщенных координат механической системы, подчиненной идеальным и голономным связям, равно числу степеней свободы.

Так, кривошипно-шатунный механизм является системой с одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты может быть выбран угол поворота кривошипа, значением которого однозначно определяются положения всех материальных точек данного механизма (данной механической системы).

Положение свободной материальной точки в пространстве определяется тремя декартовыми координатами, не зависящими друг от друга. Поэтому свободная материальная точка имеет три степени свободы, и в качестве обобщенных целесообразно принять декартовы координаты.

Положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси однозначно определяется углом поворота этого тела. Следовательно, данное тело имеет одну степень свободы и обобщенной координатой является угол поворота тела.

Как видно, в качестве обобщенных координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность: линейную, угловую, площади и т.д.

В этом пособии будем рассматривать механические системы с одной степенью свободы.

Условимся обозначать обобщенную координату буквой q.

Следовательно, для кривошипно-шатунного механизма обобщенная координата q = φ.

При движении механической системы с одной степенью свободы ее обобщенная координата будет с течением времени непрерывно изменяться. Закон этого движения определится уравнением:

которое представляет собой кинематическое уравнение движения системы в обобщенных координатах.

Производная от обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью механической системы. Будем обозначать обобщенную скорость символом , где . Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты. Если q – линейная величина, то - линейная скорость; если q – угол, то - угловая скорость; если q – площадь, то - секторная скорость и т.д. Как видим, понятием об обобщенной скорости охватываются все встречавшиеся ранее в кинематике понятия о скоростях.